ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 2 Номер 4.184 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

1) Сравните, если \(a\) и \(b\) — положительные числа:  

а) \(-a\) и \(b\);  

б) \(b\) и \(-a\);  

в) \(0\) и \(a\);  

г) \(-b\) и \(0\);  

д) \(|b|\) и \(b\);  

е) \(|a|\) и \(-a\);  

ж) \(-a\) и \(|b|\);  

з) \(|-a|\) и \(-b\).  

2) Найдите значение выражения:  

а) \(2x |3x + 2|\) при \(x = 9\);  

б) \(4x |5 + 6x|\) при \(x = 3\).

1) Пусть \(a>0\) и \(b>0\). Тогда \(-a<0\) и \(-b<0\).
а) \(-a<b\): верно, так как \(-a<0<b\).
б) \(b>-a\): верно, так как \(b>0>-a\).
в) \(0<a\): верно по условию.
г) \(-b<0\): верно, так как \(b>0\).
д) \(|b|=b\): верно для \(b>0\).
е) \(|a|>-a\): верно, так как \(|a|=a\) и \(a>-a\) при \(a>0\).
ж) \(-a<|b|\): верно, так как \(-a<0<|b|=b\).
з) \(|-a|>-b\): верно, так как \(|-a|=a\) и \(a>-b\) при \(a,b>0\).

2) а) При \(x=9\): \(2x-|3x+2|=2\cdot9-|3\cdot9+2|=18-|29|=18-29=-11\).
б) При \(x=3\): \(4x-|5+6x|=4\cdot3-|5+6\cdot3|=12-|23|=12-23=-11\).

1) Пусть \(a>0\) и \(b>0\), тогда их противоположные числа отрицательны: \(-a<0\) и \(-b<0\). Это базовые следствия из определения знака числа: если число положительно, то его модуль равен самому числу, а противоположное имеет тот же модуль, но отрицательный знак. Отсюда по порядку:

а) \(-a<b\), потому что \(-a<0\) и одновременно \(0<b\), значит любое отрицательное число меньше любого положительного.

б) \(b>-a\), эквивалентно предыдущему: положительное \(b\) больше отрицательного \(-a\).

в) \(0<a\) — это прямо условие.

г) \(-b<0\) — так как \(b>0\), противоположное ему число обязательно меньше нуля.

д) \(|b|=b\) — при \(b>0\) модуль снимает знак без изменения значения.

е) \(|a|>-a\): поскольку \(|a|=a\) и \(a>0\), а \(-a<0\), то положительное \(a\) больше отрицательного \(-a\).

ж) \(-a<|b|\): слева число отрицательное \(-a<0\), справа \(|b|=b>0\); любое отрицательное меньше любого положительного.

з) \(|-a|>-b\): здесь \(|-a|=a>0\) и \(-b<0\); положительное \(a\) больше отрицательного \(-b\).

Все пункты опираются на свойства порядка на вещественной прямой и определение модуля: для \(x>0\) имеем \(|x|=x\), для \(x<0\) имеем \(|x|=-x\).

2) а) Подставим \(x=9\) в выражение \(2x-|3x+2|\). Сначала считаем линейную часть: \(2x=2\cdot9=18\). Внутри модуля получаем \(3x+2=3\cdot9+2=27+2=29\). Так как \(29>0\), модуль не меняет знак: \(|3x+2|=|29|=29\). Тогда итог \(2x-|3x+2|=18-29=-11\). Последовательность действий: вычислили аргумент модуля, определили его знак, сняли модуль по подходящей ветви определения, затем выполнили вычитание.

б) Подставим \(x=3\) в выражение \(4x-|5+6x|\). Сначала \(4x=4\cdot3=12\). Аргумент модуля: \(5+6x=5+6\cdot3=5+18=23\). Поскольку \(23>0\), модуль равен числу: \(|5+6x|=|23|=23\). Тогда \(4x-|5+6x|=12-23=-11\). И здесь логика та же: вычисляем значение внутри модуля, определяем знак, корректно раскрываем модуль и завершаем арифметику.

Дополнение к свойствам модуля и порядка, использованным выше: если \(u>0\), то \(|u|=u\); если \(u<0\), то \(|u|=-u\). Кроме того, если \(p<0<q\), то всегда \(p<q\). Эти две простые схемы полностью объясняют истинность пунктов 1а–1з и шаги раскрытия модулей в пункте 2, что приводит к одинаковому значению \(-11\) в обоих подстановках.