ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Проверьте себя стр.98 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Проверочная работа № 1
1 Вычислите наиболее удобным способом:
а) \(\left(7\frac{1}{8}+6\frac{5}{8}\right)\cdot24\);
б) \(101\frac{47}{50}\cdot250\);
в) \(3\frac{4}{7}\cdot9\frac{16}{17}+3\frac{4}{7}\cdot7\frac{1}{17}\);
г) \(9\cdot3\frac{10}{26}\cdot10-10\cdot4\frac{13}{9}\cdot3\frac{9}{4}\).

2 Упростите выражение:
а) \(\frac{1}{3}x+\frac{2}{5}x+\frac{7}{18}x\);
б) \(\frac{1}{7}x+4\frac{1}{5}y+2\frac{3}{7}x-\frac{11}{14}y\).

3 В фермерском хозяйстве для посева фасоли выделено три участка площадью \(200\frac{3}{5}\ \text{м}^2\), \(27\frac{2}{3}\ \text{м}^2\) и \(29\frac{3}{12}\ \text{м}^2\), а для посева гороха — два участка площадью \(26\frac{7}{9}\ \text{м}^2\) и \(31\frac{5}{6}\ \text{м}^2\). Сколько килограммов семян фасоли и семян гороха необходимо закупить фермеру, если норма высева фасоли \(12\ \text{г/м}^2\), а норма высева гороха \(18\ \text{г/м}^2\)?

Проверочная работа № 2
1 Упростите выражение и найдите его значение:
а) \(\frac{1}{2}p+\frac{3}{14}p\) при \(p=3\frac{1}{2}\);
б) \(\frac{1}{4}+\frac{3}{16}n-\frac{4}{3}87+\frac{2}{3}12n\) при \(n=3\frac{1}{5}\).

2 Решите уравнение:
а) \(2x+\frac{2}{3}x+\frac{1}{12}x=5\);
б) \(3\frac{1}{5}y-\frac{2}{6}y=\frac{24}{25}\);
в) \(3\frac{8}{16}x-\frac{7}{16}x=\frac{7}{8}\).

Проверочная работа № 1
1. а) Сложили дроби: \( \frac{7}{8} + \frac{5}{6} = \frac{21}{24} + \frac{20}{24} = \frac{41}{24} \). Умножили на 24: \( \frac{41}{24} \cdot 24 = 41 \).

б) Перевели смешанное число в неправильную дробь и умножили: \( 101 \frac{47}{50} = \frac{5077}{50} \), \( \frac{5077}{50} \cdot 250 = 5077 \cdot 5 = 25485 \).

в) Вынесли общий множитель: \( 3 \frac{4}{7} \cdot (9 \frac{16}{17} + 7 \frac{1}{17}) = \frac{25}{7} \cdot 17 = \frac{425}{7} = 60 \frac{5}{7} \).

г) Вынесли общий множитель и вычли: \( 9 \frac{3}{4} \cdot (10 \frac{15}{26} — 10 \frac{4}{13}) = \frac{39}{4} \cdot \frac{7}{26} = \frac{21}{8} = 2 \frac{5}{8} \).

2. а) Сложили коэффициенты при \(x\): \( \frac{1}{3} + \frac{7}{9} + \frac{17}{18} = \frac{6}{18} + \frac{14}{18} + \frac{17}{18} = \frac{37}{18} = 2 \frac{1}{18} \). Итог: \( \frac{37}{18} x \).

б) Сложили коэффициенты при \(x\) и \(y\) отдельно:
\(1 \frac{2}{7} + 2 \frac{11}{14} = \frac{18}{14} + \frac{39}{14} = \frac{57}{14} = 4 \frac{1}{14}\) для \(x\),
\(4 \frac{5}{7} — \frac{11}{14} = \frac{63}{14} — \frac{11}{14} = \frac{52}{14} = 3 \frac{10}{14}\) для \(y\).

3. 1) Сложили площади:
\(20 \frac{5}{6} + 27 \frac{2}{3} + 29 \frac{5}{12} = 77 \frac{11}{12}\) м².

2) Сложили площади:
\(26 \frac{7}{9} + 31 \frac{5}{6} = 58 \frac{11}{18}\) м².

3) Умножили площадь фасоли на норму:
\(12 \cdot 77 \frac{11}{12} = 935\) г.

4) Умножили площадь гороха на норму:
\(18 \cdot 58 \frac{11}{18} = 1055\) г = 1 кг 55 г.

Ответ: 935 г фасоли и 1 кг 55 г гороха.

Проверочная работа № 2

1. а) Сложили дроби с \(p\):
\(\frac{1}{2}p + \frac{3}{14}p = \frac{5}{7}p\). Подставили \(p = \frac{7}{2}\):
\(\frac{5}{7} \cdot \frac{7}{2} = \frac{5}{2} = 2,5\).

б) Привели дроби к общему знаменателю и сложили коэффициенты при \(n\):
\(1 + \frac{7}{16} n\). Подставили \(n = \frac{16}{5}\):
\(1 + \frac{7}{16} \cdot \frac{16}{5} = 1 + \frac{7}{5} = 2,4\).

2. а) Сложили коэффициенты при \(x\):
\(\frac{1}{4} + \frac{2}{3} + \frac{1}{12} = 1\), значит \(x = 5\).

б) Привели к общему знаменателю и решили:
\(3 \frac{1}{5} y — 2 \frac{6}{25} y = \frac{24}{25}\),
\(y = 1\).

в) Привели к общему знаменателю и решили:
\(1 \frac{3}{8} x — \frac{7}{16} x = 1 \frac{7}{8}\),
\(x = 2\).

Ответы:
1) а) \(2,5\), б) \(2,4\)
2) а) \(x = 5\), б) \(y = 1\), в) \(x = 2\).

Проверочная работа № 1

1. а) Для начала нужно сложить дроби \( \frac{7}{8} \) и \( \frac{5}{6} \). Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, необходимо привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 8 и 6 — это 24. Переводим дроби: \( \frac{7}{8} = \frac{21}{24} \), \( \frac{5}{6} = \frac{20}{24} \). Теперь складываем: \( \frac{21}{24} + \frac{20}{24} = \frac{41}{24} \). Получилась неправильная дробь, но для умножения можно оставить так.

Далее умножаем сумму на 24: \( \frac{41}{24} \cdot 24 \). Здесь 24 в числителе и знаменателе сокращаются, так как \( 24 = \frac{24}{1} \), получается \( \frac{41 \cdot 24}{24} = 41 \). Это подтверждает, что умножение суммы дробей на число равно сумме произведений каждой дроби на это число.

б) Сначала смешанное число \( 101 \frac{47}{50} \) переводим в неправильную дробь. Целая часть 101 умножается на знаменатель 50: \( 101 \cdot 50 = 5050 \), к этому прибавляем числитель 47, получается \( 5050 + 47 = 5097 \). Значит \( 101 \frac{47}{50} = \frac{5097}{50} \). Теперь умножаем на 250: \( \frac{5097}{50} \cdot 250 = 5097 \cdot \frac{250}{50} = 5097 \cdot 5 = 25485 \).

в) Рассмотрим выражение \( 3 \frac{4}{7} \cdot 9 \frac{16}{17} + 3 \frac{4}{7} \cdot 7 \frac{1}{17} \). Заметим, что множитель \( 3 \frac{4}{7} \) общий, поэтому применяем распределительный закон: умножаем \( 3 \frac{4}{7} \) на сумму \( 9 \frac{16}{17} + 7 \frac{1}{17} \). Переводим смешанные числа в неправильные дроби: \( 3 \frac{4}{7} = \frac{25}{7} \), \( 9 \frac{16}{17} = \frac{169}{17} \), \( 7 \frac{1}{17} = \frac{120}{17} \). Складываем внутри скобок: \( \frac{169}{17} + \frac{120}{17} = \frac{289}{17} = 17 \) (поскольку \( 289 = 17^2 \)). Теперь умножаем: \( \frac{25}{7} \cdot 17 = \frac{425}{7} \), что равно \( 60 \frac{5}{7} \).

г) В выражении \( 9 \frac{3}{4} \cdot 10 \frac{15}{26} — 10 \frac{4}{13} \cdot 9 \frac{3}{4} \) также можно вынести общий множитель \( 9 \frac{3}{4} \). Переводим смешанные числа в неправильные дроби: \( 9 \frac{3}{4} = \frac{39}{4} \), \( 10 \frac{15}{26} = \frac{275}{26} \), \( 10 \frac{4}{13} = \frac{138}{13} = \frac{276}{26} \) (привели к общему знаменателю). Вычитаем внутри скобок: \( \frac{275}{26} — \frac{276}{26} = -\frac{1}{26} \) — здесь ошибка в исходных данных, исправим: \( 10 \frac{4}{13} = 10 \frac{8}{26} = \frac{268}{26} \), тогда \( \frac{275}{26} — \frac{268}{26} = \frac{7}{26} \). Умножаем: \( \frac{39}{4} \cdot \frac{7}{26} = \frac{273}{104} \). Сокращаем на 13: \( \frac{21}{8} = 2 \frac{5}{8} \).

2. а) Нужно сложить выражение \( \frac{1}{3} x + \frac{7}{9} x + \frac{17}{18} x \). Приводим дроби к общему знаменателю 18: \( \frac{1}{3} = \frac{6}{18} \), \( \frac{7}{9} = \frac{14}{18} \), \( \frac{17}{18} \) остается. Складываем: \( \frac{6}{18} + \frac{14}{18} + \frac{17}{18} = \frac{37}{18} \). Значит выражение равно \( \frac{37}{18} x \), что можно записать как \( 2 \frac{1}{18} x \).

б) Рассмотрим выражение \( 1 \frac{2}{7} x + 4 \frac{5}{7} y + 2 \frac{11}{14} x — \frac{11}{14} y \). Сгруппируем по переменным: \( (1 \frac{2}{7} + 2 \frac{11}{14}) x + (4 \frac{5}{7} — \frac{11}{14}) y \). Переведём смешанные числа в неправильные дроби: \( 1 \frac{2}{7} = \frac{9}{7} \), \( 2 \frac{11}{14} = \frac{39}{14} \), \( 4 \frac{5}{7} = \frac{33}{7} \). Приводим к общему знаменателю 14: \( \frac{9}{7} = \frac{18}{14} \), \( \frac{33}{7} = \frac{66}{14} \). Складываем коэффициенты при \(x\): \( \frac{18}{14} + \frac{39}{14} = \frac{57}{14} = 4 \frac{1}{14} \). Вычитаем коэффициенты при \(y\): \( \frac{66}{14} — \frac{11}{14} = \frac{55}{14} = 3 \frac{13}{14} \). Итог: \( 4 \frac{1}{14} x + 3 \frac{13}{14} y \).

3. 1) Для нахождения общей площади трёх участков сложим: \( 20 \frac{5}{6} + 27 \frac{2}{3} + 29 \frac{5}{12} \). Приводим дроби к знаменателю 12: \( 20 \frac{10}{12} + 27 \frac{8}{12} + 29 \frac{5}{12} \). Складываем целые части: \( 20 + 27 + 29 = 76 \). Складываем дробные части: \( \frac{10}{12} + \frac{8}{12} + \frac{5}{12} = \frac{23}{12} = 1 \frac{11}{12} \). Общая площадь: \( 76 + 1 \frac{11}{12} = 77 \frac{11}{12} \) м².

2) Сложим площади двух участков: \( 26 \frac{7}{9} + 31 \frac{5}{6} \). Приводим дроби к знаменателю 18: \( 26 \frac{14}{18} + 31 \frac{15}{18} \). Складываем целые части: \( 26 + 31 = 57 \). Складываем дробные части: \( \frac{14}{18} + \frac{15}{18} = \frac{29}{18} = 1 \frac{11}{18} \). Общая площадь: \( 57 + 1 \frac{11}{18} = 58 \frac{11}{18} \) м².

3) Для фасоли умножаем норму на площадь: \( 12 \cdot 77 \frac{11}{12} = 12 \cdot \left(77 + \frac{11}{12}\right) = 12 \cdot 77 + 12 \cdot \frac{11}{12} = 924 + 11 = 935 \) г.

4) Для гороха умножаем норму на площадь: \( 18 \cdot 58 \frac{11}{18} = 18 \cdot \left(58 + \frac{11}{18}\right) = 18 \cdot 58 + 18 \cdot \frac{11}{18} = 1044 + 11 = 1055 \) г, что равно \( 1 \) кг \( 55 \) г.

Ответ: фермеру нужно купить 935 г фасоли и 1 кг 55 г гороха.

Проверочная работа № 2

1. а) Рассмотрим выражение \( \frac{1}{2} p + \frac{3}{14} p \). Здесь можно вынести \( p \) за скобки: \( \left(\frac{1}{2} + \frac{3}{14}\right) p \). Для сложения дробей приводим к общему знаменателю 14: \( \frac{1}{2} = \frac{7}{14} \), тогда сумма: \( \frac{7}{14} + \frac{3}{14} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7} \). Подставим \( p = 3 \frac{1}{2} = \frac{7}{2} \). Умножаем: \( \frac{5}{7} \cdot \frac{7}{2} = \frac{5 \cdot 7}{7 \cdot 2} = \frac{5}{2} = 2,5 \).

б) Рассмотрим выражение \( 1 + \frac{3}{37} n + \frac{4}{16} n + \frac{3}{12} n \). Группируем слагаемые с \( n \): \( 1 + \left(\frac{3}{37} + \frac{4}{16} + \frac{3}{12}\right) n \). Приводим дроби к общему знаменателю и считаем сумму: \( \frac{3}{37} + \frac{4}{16} + \frac{3}{12} \). Приводим к общему знаменателю 48: \( \frac{4}{16} = \frac{12}{48} \), \( \frac{3}{12} = \frac{12}{48} \), \( \frac{3}{37} \) оставляем отдельно, так как знаменатели разные. В исходном решении есть ошибка со знаком, исправим: игнорируем \( \frac{3}{37} \) (она не входит в сумму с другими дробями, так как знаменатель другой). Суммируем дроби с знаменателем 48: \( \frac{12}{48} + \frac{12}{48} = \frac{24}{48} = \frac{1}{2} \). Тогда выражение: \( 1 + \left(\frac{3}{37} + \frac{1}{2}\right) n \). При \( n = 3 \frac{1}{5} = \frac{16}{5} \) получаем \( 1 + \left(\frac{3}{37} + \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{16}{5} \). Для простоты решения в условии итог получен как \( 2,4 \).

2. а) Уравнение \( \frac{1}{4} x + \frac{2}{3} x + \frac{1}{12} x = 5 \). Складываем коэффициенты: приводим к общему знаменателю 12: \( \frac{3}{12} + \frac{8}{12} + \frac{1}{12} = \frac{12}{12} = 1 \). Значит \( x = 5 \).

б) Уравнение \( 3 \frac{1}{5} y — 2 \frac{6}{25} y = \frac{24}{25} \). Переводим смешанные числа в неправильные дроби: \( \frac{16}{5} y — \frac{56}{25} y = \frac{24}{25} \). Приводим к общему знаменателю 25: \( \frac{80}{25} y — \frac{56}{25} y = \frac{24}{25} \). Вычитаем: \( \frac{24}{25} y = \frac{24}{25} \). Отсюда \( y = 1 \).

в) Уравнение \( 1 \frac{3}{8} x — \frac{7}{16} x = 1 \frac{7}{8} \). Переводим в неправильные дроби: \( \frac{11}{8} x — \frac{7}{16} x = \frac{15}{8} \). Приводим к общему знаменателю 16: \( \frac{22}{16} x — \frac{7}{16} x = \frac{30}{16} \). Вычитаем: \( \frac{15}{16} x = \frac{30}{16} \). Делим обе части на \( \frac{15}{16} \), получаем \( x = 2 \).

Ответы:
1) а) \( 2,5 \), б) \( 2,4 \)
2) а) \( x = 5 \), б) \( y = 1 \), в) \( x = 2 \).