ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Проверьте себя стр.78 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Проверочная работа № 1

1 Восстановите алгоритм сложения смешанных чисел, записав в нужном порядке номера действий:
1) при необходимости сократить дробь, выделить целую часть и прибавить её к полученной целой части;
2) привести к наименьшему общему знаменателю дробные части чисел;
3) отдельно выполнить сложение целых и отдельно дробных частей.

2 Запишите выражение и найдите его значение:
а) к сумме чисел \(1\frac{1}{3}\) и \(5\frac{1}{9}\) прибавить \(4{,}2\);
б) к \(1\frac{2}{5}\) прибавить сумму чисел \(6\frac{1}{10}\) и \(3\frac{3}{25}\).

3 Найдите периметр треугольника \(ABC\), если \(AB=5\frac{1}{12}\) см, \(BC=6\frac{1}{5}\) см и \(AC=4\frac{1}{7}\) см.

Проверочная работа № 2

1 Запишите выражение и найдите его значение:
а) к разности чисел \(6\frac{3}{8}\) и \(2\frac{1}{6}\) прибавить \(3\frac{5}{12}\);
б) из суммы чисел \(1\frac{2}{5}\) и \(5\frac{7}{15}\) вычесть \(5\frac{5}{6}\).

2 Решите уравнение и сделайте проверку:
а) \(x+3\frac{4}{5}=6\frac{2}{21}\);
б) \(5\frac{1}{12}+x=8\frac{1}{6}\).

3 С поля площадью 25 га собрали 1052 ц пшеницы, а с поля площадью 30 га собрали 1463 ц пшеницы.
а) Найдите урожайность пшеницы на каждом поле.
б) На каком поле урожайность пшеницы выше? На сколько?

4* На сколько сумма чисел \(\frac{4\,439}{751}\) и \(2\frac{4}{7}\) больше разности этих чисел?

Проверочная работа № 3

1 Найдите значение числового выражения наиболее удобным способом:
а) \(2\frac{3}{15}+1\frac{1}{80}+3\frac{11}{15}\);
б) \(3\frac{2}{7}-(1\frac{3}{8}+1\frac{3}{16})\).

2 Представьте десятичную дробь в виде смешанного числа и вычислите:
а) \(2\frac{3}{5}-1{,}9+7\frac{20}{27}\);
б) \(2{,}34+4\frac{1}{6}-2\frac{14}{15}\).

3 Запишите равенства, обозначив неизвестное через \(x\), и найдите \(x\):
а) к числу прибавили \(k\) и получили \(13\frac{1}{14}\);
б) число уменьшили на \(1\frac{9}{8}\) и получили \(6\frac{2}{3}\);
в) к числу прибавили \(10\frac{1}{11}\) и получили \(12\frac{1}{42}\);
г) из числа вычли \(l\) и получили \(3\frac{4}{39}\).

4 Моторная лодка в стоячей воде за 9 мин преодолевает расстояние в 3750 м. Найдите скорость моторной лодки по течению и скорость против течения, если скорость течения реки равна \(20\frac{2}{5}\) м/мин.
2.259 Найдите произведение:
а) \(\frac{5}{6}\cdot\frac{3}{8}\);
б) \(\frac{16}{21}\cdot14\);
в) \(\frac{1}{2}\cdot50\);
г) \(\frac{13}{19}\cdot\frac{13}{38}\);
д) \(1\cdot\frac{1}{4}\);
е) \(\frac{11}{15}\cdot0\).

Проверочная работа № 1
1) Алгоритм сложения смешанных чисел:
— привести дробные части к наименьшему общему знаменателю;
— сложить отдельно целые части и дробные части;
— при необходимости сократить дробь, выделить целую часть и прибавить её к целой части.

2) а) \(\left(1 \frac{1}{3} + 5 \frac{1}{9}\right) + 4 \frac{5}{24} = \left(1 \frac{3}{9} + 5 \frac{1}{9}\right) + 4 \frac{5}{24} = 6 \frac{4}{9} + 4 \frac{5}{24} = 6 \frac{32}{72} + 4 \frac{15}{72} =\)
\(= 10 \frac{47}{72}\).

б) \(1 \frac{2}{65} + \left(6 \frac{1}{10} + 3 \frac{3}{25}\right) = 1 \frac{2}{65} + \left(6 \frac{5}{50} + 3 \frac{6}{50}\right) = 1 \frac{2}{65} + 9 \frac{11}{50} = 1 \frac{20}{650} +\)
\(+ 9 \frac{143}{650} = 10 \frac{163}{650}\).

3) Решение:
\(AB + BC + AC = 5 \frac{1}{12} + 6 \frac{1}{5} + 4 \frac{1}{6} = 5 \frac{5}{60} + 6 \frac{12}{60} + 4 \frac{10}{60} = 11 \frac{17}{60} +\)
\(+ 4 \frac{10}{60} = 15 \frac{27}{60} = 15 \frac{9}{20}\) (см) — периметр треугольника \(ABC\).

Ответ: \(15 \frac{9}{20}\) см.

Проверочная работа № 2
1. а) \(\left(6 \frac{2}{3} — 2 \frac{1}{6}\right) + 3 \frac{5}{12} = \left(6 \frac{4}{6} — 2 \frac{1}{6}\right) + 3 \frac{5}{12} = 4 \frac{3}{6} + 3 \frac{5}{12} = 4 \frac{6}{12} + 3 \frac{5}{12} = 7 \frac{11}{12}\).

б) \(\left(1 \frac{2}{15} + 5 \frac{7}{30}\right) — 5 \frac{1}{30} = \left(1 \frac{4}{30} + 5 \frac{7}{30}\right) — 5 \frac{1}{30} = 6 \frac{11}{30} — 5 \frac{1}{30} = 1 \frac{10}{30} = 1 \frac{1}{3}\).

2. а) \(x + 3 \frac{4}{7} = 6 \frac{2}{21}\)
\(x = 6 \frac{2}{21} — 3 \frac{4}{7} = 5 \frac{23}{21} — 3 \frac{12}{21} = 2 \frac{11}{21}\).

б) \(5 \frac{7}{12} + x = 8 \frac{5}{16}\)
\(x = 8 \frac{5}{16} — 5 \frac{7}{12} = 8 \frac{15}{48} — 5 \frac{28}{48} = 7 \frac{63}{48} — 5 \frac{28}{48} = 2 \frac{35}{48}\).

3. а) Урожайность пшеницы на первом поле: \(1052 : 25 = 42 \frac{2}{25}\) ц/га.
Урожайность пшеницы на втором поле: \(1463 : 30 = 48 \frac{23}{30}\) ц/га.

б) Разница урожайности:
\(48 \frac{23}{30} — 42 \frac{2}{25} = 48 \frac{115}{150} — 42 \frac{12}{150} = 6 \frac{103}{150}\) ц/га.
На втором поле урожайность выше на \(6 \frac{103}{150}\) ц/га.

4. \(\left(4 \frac{439}{751} + 2 \frac{4}{7}\right) — \left(4 \frac{439}{751} — 2 \frac{4}{7}\right) = 4 \frac{439}{751} + 2 \frac{4}{7} — 4 \frac{439}{751} + 2 \frac{4}{7} =\)
\(= 2 \times 2 \frac{4}{7} = 5 \frac{1}{7}\).
Ответ: на \(5 \frac{1}{7}\) больше.

Проверочная работа № 3

1 а) \(2 \frac{4}{15} + 1 \frac{71}{80} + 3 \frac{11}{15} = \left(2 \frac{4}{15} + 3 \frac{11}{15}\right) + 1 \frac{71}{80} = 5 \frac{15}{15} + 1 \frac{71}{80} = 6 + 1 \frac{71}{80} =\)
\(= 7 \frac{71}{80}\).

б) \(3 \frac{7}{16} — \left(1 \frac{3}{8} + 1 \frac{3}{16}\right) = \left(3 \frac{7}{16} — 1 \frac{3}{16}\right) — 1 \frac{3}{8} = 2 \frac{4}{16} — 1 \frac{3}{8} = 2 \frac{2}{8} -\)
\(- 1 \frac{3}{8} = 1 \frac{10}{8} — 1 \frac{3}{8} = \frac{7}{8}\).

2 а) \(2 \frac{3}{15} — 1,9 + 1 \frac{7}{20} = 2 \frac{3}{15} — 1 \frac{9}{10} + 1 \frac{7}{20} = 2 \frac{12}{60} — 1 \frac{54}{60} + 1 \frac{21}{60} = 1 \frac{72}{60} — 1 \frac{54}{60} +\)
\(+ 1 \frac{21}{60} = 1 \frac{18}{60} + 1 \frac{21}{60} = 1 \frac{39}{60} = 1 \frac{13}{20}\).

б) \(2,34 + 4 \frac{1}{6} — 2 \frac{14}{15} = 2 \frac{34}{100} + 4 \frac{1}{6} — 2 \frac{14}{15} = 2 \frac{51}{150} + 4 \frac{25}{150} — 2 \frac{140}{150} = 6 \frac{76}{150} -\)
\(- 2 \frac{140}{150} = 5 \frac{226}{150} — 2 \frac{140}{150} = 3 \frac{86}{150} = 3 \frac{43}{75}\).

3 а) \( \frac{1}{2} + x = \frac{13}{14} \), значит \( x = \frac{13}{14} — \frac{1}{2} = \frac{13}{14} — \frac{7}{14} = \frac{6}{14} = \frac{3}{7}\).

б) \(x — 1 \frac{8}{9} = 6 \frac{2}{3}\), значит \( x = 6 \frac{2}{3} + 1 \frac{8}{9} = 6 \frac{6}{9} + 1 \frac{8}{9} = 7 \frac{14}{9} = 8 \frac{5}{9}\).

в) \(x + 10 \frac{3}{14} = 12 \frac{11}{42}\), значит \( x = 12 \frac{11}{42} — 10 \frac{3}{14} = 12 \frac{11}{42} — 10 \frac{9}{42} = 2 \frac{2}{42} = 2 \frac{1}{21}\).

г) \(x — 4 \frac{5}{36} = 3 \frac{4}{39}\), значит \( x = 3 \frac{4}{39} + 4 \frac{5}{36} = 3 \frac{48}{468} + 4 \frac{65}{468} = 7 \frac{113}{468}\).

4 1) Собственная скорость лодки: \(3750 : 9 = \frac{3750}{9} = 416 \frac{6}{9} = 416 \frac{2}{3}\) (м/мин).

2) Скорость лодки по течению: \(416 \frac{2}{3} + 20 \frac{5}{6} = 416 \frac{4}{6} + 20 \frac{5}{6} = 436 \frac{9}{6} = 437 \frac{3}{6} = 437 \frac{1}{2} = 437,5\) (м/мин).

3) Скорость лодки против течения: \(416 \frac{2}{3} — 20 \frac{5}{6} = 416 \frac{4}{6} — 20 \frac{5}{6} = 415 \frac{10}{6} — 20 \frac{5}{6} = 395 \frac{5}{6}\) (м/мин).

Ответ: \(437,5\) м/мин; \(395 \frac{5}{6}\) м/мин.

Проверочная работа № 1
1) Алгоритм сложения смешанных чисел начинается с приведения дробных частей всех чисел к наименьшему общему знаменателю. Это необходимо для того, чтобы дробные части можно было складывать напрямую, так как дроби с разными знаменателями складывать нельзя. После того как знаменатели уравнены, дробные части становятся сопоставимыми по величине, и их можно сложить.

Далее, следует отдельно сложить целые части чисел. Это делается отдельно, чтобы не усложнять вычисления и избежать ошибок. После сложения целых частей и дробных частей, если результат дробной части получился неправильной дробью (числитель больше знаменателя), необходимо выделить из неё целую часть. Выделенная целая часть прибавляется к сумме целых частей, а оставшаяся дробная часть остаётся в виде правильной дроби.

Таким образом, итоговое число будет представлять собой смешанное число, где целая часть — это сумма целых частей исходных чисел плюс выделенная целая часть из дробной суммы, а дробная часть — это сокращённая правильная дробь.

2) Рассмотрим пример а). Сложение начинается с преобразования смешанных чисел к дробям с общим знаменателем. Сначала приводим дробные части \( \frac{1}{3} \) и \( \frac{1}{9} \) к общему знаменателю 9: \( 1 \frac{1}{3} = 1 \frac{3}{9} \), \( 5 \frac{1}{9} \) остаётся без изменений. Складываем дробные части: \( \frac{3}{9} + \frac{1}{9} = \frac{4}{9} \), целые части \(1 + 5 = 6\), получается \(6 \frac{4}{9}\). Далее к этому результату прибавляем \(4 \frac{5}{24}\). Чтобы сложить дробные части \( \frac{4}{9} \) и \( \frac{5}{24} \), приводим их к общему знаменателю 72: \( \frac{4}{9} = \frac{32}{72} \), \( \frac{5}{24} = \frac{15}{72} \). Складываем дробные части: \( \frac{32}{72} + \frac{15}{72} = \frac{47}{72} \), целые части \(6 + 4 = 10\). Итог: \(10 \frac{47}{72}\).

В примере б) сначала складываем дробные части внутри скобок. Приводим дроби \( \frac{1}{10} \) и \( \frac{3}{25} \) к общему знаменателю 50: \( \frac{1}{10} = \frac{5}{50} \), \( \frac{3}{25} = \frac{6}{50} \). Складываем: \( \frac{5}{50} + \frac{6}{50} = \frac{11}{50} \). Добавляем целую часть 6: \(6 \frac{11}{50}\). Затем прибавляем \(1 \frac{2}{65}\). Чтобы сложить дробные части \( \frac{2}{65} \) и \( \frac{11}{50} \), приводим к общему знаменателю 650: \( \frac{2}{65} = \frac{20}{650} \), \( \frac{11}{50} = \frac{143}{650} \). Складываем: \( \frac{20}{650} + \frac{143}{650} = \frac{163}{650} \), целые части \(1 + 9 = 10\). Итог: \(10 \frac{163}{650}\).

3) Для нахождения периметра треугольника \(ABC\) складываем длины сторон \(AB\), \(BC\) и \(AC\), которые даны в виде смешанных чисел: \(5 \frac{1}{12}\), \(6 \frac{1}{5}\), \(4 \frac{1}{6}\). Приводим дробные части к общему знаменателю 60: \( \frac{1}{12} = \frac{5}{60} \), \( \frac{1}{5} = \frac{12}{60} \), \( \frac{1}{6} = \frac{10}{60} \). Складываем целые части: \(5 + 6 + 4 = 15\). Складываем дробные части: \( \frac{5}{60} + \frac{12}{60} + \frac{10}{60} = \frac{27}{60} \). Результат: \(15 \frac{27}{60}\), сокращаем дробь: \( \frac{27}{60} = \frac{9}{20} \). Периметр равен \(15 \frac{9}{20}\) см.

Проверочная работа № 2
1. а) Рассмотрим выражение \(\left(6 \frac{2}{3} — 2 \frac{1}{6}\right) + 3 \frac{5}{12}\). Сначала необходимо выполнить вычитание смешанных чисел внутри скобок. Для этого переведём дроби к общему знаменателю. \( \frac{2}{3} = \frac{4}{6} \), тогда \(6 \frac{2}{3} = 6 \frac{4}{6}\). Вычитаем из этого \(2 \frac{1}{6}\), получаем \(4 \frac{3}{6}\). Теперь к этому результату прибавляем \(3 \frac{5}{12}\). Чтобы сложить дробные части, приведём их к общему знаменателю: \( \frac{3}{6} = \frac{6}{12} \). Складываем: \(4 + 3 = 7\), а дробные части \( \frac{6}{12} + \frac{5}{12} = \frac{11}{12} \). В итоге получаем \(7 \frac{11}{12}\).

б) Рассмотрим выражение \(\left(1 \frac{2}{15} + 5 \frac{7}{30}\right) — 5 \frac{1}{30}\). Сначала сложим смешанные числа в скобках. Приведём дроби к общему знаменателю: \( \frac{2}{15} = \frac{4}{30} \). Складываем дробные части: \( \frac{4}{30} + \frac{7}{30} = \frac{11}{30} \). Сумма равна \(6 \frac{11}{30}\). Теперь вычитаем \(5 \frac{1}{30}\). Из целых чисел вычитаем \(5\), из дробных частей \( \frac{11}{30} — \frac{1}{30} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3} \). Итог: \(1 \frac{1}{3}\).

2. а) Решаем уравнение \(x + 3 \frac{4}{7} = 6 \frac{2}{21}\). Для нахождения \(x\) нужно вычесть \(3 \frac{4}{7}\) из \(6 \frac{2}{21}\). Приведём дроби к общему знаменателю: \( \frac{4}{7} = \frac{12}{21} \). Теперь \(6 \frac{2}{21} — 3 \frac{12}{21} = (6 — 3) + \left(\frac{2}{21} — \frac{12}{21}\right) = 3 — \frac{10}{21}\). Так как дробь отрицательная, уменьшим целую часть на 1, добавив к дроби 1: \(3 — 1 = 2\), а дробь станет \(\frac{21}{21} — \frac{10}{21} = \frac{11}{21}\). Значит \(x = 2 \frac{11}{21}\).

б) Решаем уравнение \(5 \frac{7}{12} + x = 8 \frac{5}{16}\). Для нахождения \(x\) вычтем \(5 \frac{7}{12}\) из \(8 \frac{5}{16}\). Приведём дроби к общему знаменателю: \( \frac{7}{12} = \frac{28}{48} \), \( \frac{5}{16} = \frac{15}{48} \). Тогда \(8 \frac{15}{48} — 5 \frac{28}{48} = (8 — 5) + \left(\frac{15}{48} — \frac{28}{48}\right) = 3 — \frac{13}{48}\). Поскольку дробная часть отрицательная, уменьшаем целую часть на 1: \(3 — 1 = 2\), а дробь становится \(\frac{48}{48} — \frac{13}{48} = \frac{35}{48}\). Значит \(x = 2 \frac{35}{48}\).

3. а) Для вычисления урожайности пшеницы на первом поле делим 1052 на 25. Частное равно 42, остаток 2, значит результат \(42 \frac{2}{25}\) центнеров с гектара. Аналогично для второго поля делим 1463 на 30, частное 48, остаток 23, результат \(48 \frac{23}{30}\) ц/га.

б) Чтобы найти разницу урожайности между вторым и первым полем, вычитаем \(42 \frac{2}{25}\) из \(48 \frac{23}{30}\). Приводим дроби к общему знаменателю: \( \frac{2}{25} = \frac{12}{150} \), \( \frac{23}{30} = \frac{115}{150} \). Вычитаем: \(48 \frac{115}{150} — 42 \frac{12}{150} = (48 — 42) + \left(\frac{115}{150} — \frac{12}{150}\right) = 6 \frac{103}{150}\). Значит урожайность на втором поле выше на \(6 \frac{103}{150}\) ц/га.

4. Рассмотрим выражение \(\left(4 \frac{439}{751} + 2 \frac{4}{7}\right) — \left(4 \frac{439}{751} — 2 \frac{4}{7}\right)\). Раскрываем скобки: \(4 \frac{439}{751} + 2 \frac{4}{7} — 4 \frac{439}{751} + 2 \frac{4}{7}\). Члены \(4 \frac{439}{751}\) сокращаются, остаётся \(2 \times 2 \frac{4}{7} = 5 \frac{1}{7}\). Это означает, что сумма чисел \(4 \frac{439}{751}\) и \(2 \frac{4}{7}\) больше их разности ровно на \(5 \frac{1}{7}\).

Проверочная работа № 3
1а) Рассмотрим выражение \(2 \frac{4}{15} + 1 \frac{71}{80} + 3 \frac{11}{15}\). Сначала сгруппируем первые два слагаемых: \(2 \frac{4}{15} + 3 \frac{11}{15} = 5 \frac{15}{15}\), так как \( \frac{4}{15} + \frac{11}{15} = \frac{15}{15} = 1\). Это даёт нам \(5 + 1 = 6\). Далее прибавим оставшееся слагаемое \(1 \frac{71}{80}\). Складываем целые части: \(6 + 1 = 7\), а дробные части остаются \( \frac{71}{80}\). В итоге получаем \(7 \frac{71}{80}\).

1б) Выражение \(3 \frac{7}{16} — \left(1 \frac{3}{8} + 1 \frac{3}{16}\right)\) сначала преобразуем, сложив дроби в скобках. Приведём к общему знаменателю: \( \frac{3}{8} = \frac{6}{16}\), следовательно \(1 \frac{3}{8} + 1 \frac{3}{16} = 1 \frac{6}{16} + 1 \frac{3}{16} = 2 \frac{9}{16}\). Теперь вычитаем из \(3 \frac{7}{16}\) сумму: \(3 \frac{7}{16} — 2 \frac{9}{16} = (3 — 2) + \left(\frac{7}{16} — \frac{9}{16}\right) = 1 — \frac{2}{16} = 1 — \frac{1}{8} = \frac{7}{8}\).

2а) Рассмотрим \(2 \frac{3}{15} — 1,9 + 1 \frac{7}{20}\). Сначала переведём десятичную дробь \(1,9\) в дробь с общим знаменателем: \(1,9 = 1 \frac{9}{10}\). Приведём все дроби к общему знаменателю 60: \(2 \frac{3}{15} = 2 \frac{12}{60}\), \(1 \frac{9}{10} = 1 \frac{54}{60}\), \(1 \frac{7}{20} = 1 \frac{21}{60}\). Теперь вычисляем: \(2 \frac{12}{60} — 1 \frac{54}{60} + 1 \frac{21}{60} = (2 — 1 + 1) + \left(\frac{12}{60} — \frac{54}{60} + \frac{21}{60}\right) = 2 + \left(-\frac{21}{60}\right) = 1 \frac{39}{60} =\)
\(= 1 \frac{13}{20}\).

2б) Вычислим \(2,34 + 4 \frac{1}{6} — 2 \frac{14}{15}\). Переведём десятичную дробь \(2,34\) в дробь с знаменателем 100: \(2 \frac{34}{100}\). Приведём все дроби к общему знаменателю 150: \(2 \frac{34}{100} = 2 \frac{51}{150}\), \(4 \frac{1}{6} = 4 \frac{25}{150}\), \(2 \frac{14}{15} = 2 \frac{140}{150}\). Складываем и вычитаем: \(2 \frac{51}{150} + 4 \frac{25}{150} — 2 \frac{140}{150} = (2 + 4 — 2) + \left(\frac{51}{150} + \frac{25}{150} — \frac{140}{150}\right) = 4 + \left(-\frac{64}{150}\right) =\)
\(= 3 \frac{86}{150} = 3 \frac{43}{75}\).

3а) Уравнение \( \frac{1}{2} + x = \frac{13}{14}\). Чтобы найти \(x\), вычтем \( \frac{1}{2}\) из обеих частей: \(x = \frac{13}{14} — \frac{1}{2}\). Приведём к общему знаменателю 14: \( \frac{1}{2} = \frac{7}{14}\). Тогда \(x = \frac{13}{14} — \frac{7}{14} = \frac{6}{14} = \frac{3}{7}\).

3б) Уравнение \(x — 1 \frac{8}{9} = 6 \frac{2}{3}\). Переносим \(1 \frac{8}{9}\) вправо: \(x = 6 \frac{2}{3} + 1 \frac{8}{9}\). Приведём дроби к общему знаменателю 9: \(6 \frac{2}{3} = 6 \frac{6}{9}\). Складываем: \(6 \frac{6}{9} + 1 \frac{8}{9} = 7 \frac{14}{9} = 8 \frac{5}{9}\).

3в) Уравнение \(x + 10 \frac{3}{14} = 12 \frac{11}{42}\). Вычитаем \(10 \frac{3}{14}\) из обеих частей: \(x = 12 \frac{11}{42} — 10 \frac{3}{14}\). Приводим к общему знаменателю 42: \(10 \frac{3}{14} = 10 \frac{9}{42}\). Вычитаем: \(12 \frac{11}{42} — 10 \frac{9}{42} = 2 \frac{2}{42} = 2 \frac{1}{21}\).

3г) Уравнение \(x — 4 \frac{5}{36} = 3 \frac{4}{39}\). Переносим \(4 \frac{5}{36}\) вправо: \(x = 3 \frac{4}{39} + 4 \frac{5}{36}\). Приводим дроби к общему знаменателю 468: \(3 \frac{4}{39} = 3 \frac{48}{468}\), \(4 \frac{5}{36} = 4 \frac{65}{468}\). Складываем: \(3 \frac{48}{468} + 4 \frac{65}{468} = 7 \frac{113}{468}\).

4)
1) Для определения собственной скорости моторной лодки разделим пройденное расстояние 3750 метров на время 9 минут: \(3750 : 9 = \frac{3750}{9} = 416 \frac{6}{9} = 416 \frac{2}{3}\) м/мин. Это скорость лодки без учёта течения реки.

2) Скорость лодки по течению реки найдём, прибавив скорость течения 20 \(\frac{5}{6}\) м/мин к собственной скорости: \(416 \frac{2}{3} + 20 \frac{5}{6} = 416 \frac{4}{6} + 20 \frac{5}{6} = 436 \frac{9}{6} = 437 \frac{3}{6} = 437 \frac{1}{2} = 437,5\) м/мин.

3) Скорость лодки против течения будет равна собственной скорости минус скорость течения: \(416 \frac{2}{3} — 20 \frac{5}{6} = 416 \frac{4}{6} — 20 \frac{5}{6} = 415 \frac{10}{6} — 20 \frac{5}{6} = 395 \frac{5}{6}\) м/мин.

Ответ: \(437,5\) м/мин; \(395 \frac{5}{6}\) м/мин.