ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Проверьте себя стр.70 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Проверочная работа № 1

1 Расположите в порядке возрастания дроби

2 Сравните промежутки времени:
а) \(\frac{5}{12}\) ч и \(\frac{7}{15}\) ч;
б) \(\frac{7}{12}\) суток и \(\frac{11}{18}\) суток.

3 Вычислите:
а) \(\frac{5}{14} + \frac{5}{21}\);
б) \(\frac{5}{14} — \frac{5}{21}\);
в) \(\frac{17}{30} + \frac{11}{70}\);
г) \(\frac{17}{30} — \frac{11}{70}\);
д) \(\frac{9}{22} + \frac{2}{121}\);
е) \(\frac{9}{22} — \frac{2}{121}\).

4 Повторяя изученные за учебный год слова на английском языке три одноклассника выяснили, что Петя помнит \(\frac{11}{13}\), Витя — \(\frac{57}{60}\), а Миша — \(\frac{7}{12}\) всех изученных за год слов.
а) Кто из ребят помнит больше английских слов?
б) Кому из ребят нужно повторить больше английских слов?
в) Сколько всего английских слов изучили ребята за год, если слов меньше 800?
г) Сколько английских слов нужно повторить каждому из мальчиков?

Проверочная работа № 2

1 Вычислите:
а) \(\frac{3}{14} + \frac{1}{28}\);
б) \(\frac{4}{15} — \frac{3}{25}\);
в) \(\frac{5}{46} + \frac{4}{69}\).

2 Сравните дроби:
а) \(\frac{5}{9}\) и 0,56;
б) 0,2 и \(\frac{3}{11}\);
в) \(\frac{2}{7}\) и 0,25.

3 Решите уравнение:
а) \(x + \frac{7}{20} = \frac{4}{5}\);
б) \(x — \frac{2}{3} = \frac{2}{4}\);
в) \(\frac{11}{12} — x = \frac{1}{18}\).

4 Вычислите:
а) \(\left(\frac{4}{5} — \frac{2}{7}\right) — \frac{3}{70}\);
б) \(\frac{7}{9} + \frac{1}{15} — \frac{5}{18} + \frac{1}{30}\).

5 Ширина прямоугольника равна \(\frac{3}{26}\) м, а его длина на \(\frac{5}{52}\) м больше.
а) Найдите длину прямоугольника.
б) Найдите периметр прямоугольника.
в)* На сколько увеличится периметр прямоугольника, если его ширину увеличить на \(\frac{2}{65}\) м, а длину увеличить на \(\frac{3}{78}\) м?

Проверочная работа № 1

1. Для упорядочивания дробей найдём общий знаменатель \(36\):

\(\frac{3}{4} = \frac{27}{36}\), \(\frac{13}{18} = \frac{26}{36}\), \(\frac{7}{2} = \frac{126}{36}\), \(\frac{7}{9} = \frac{28}{36}\), \(\frac{5}{6} = \frac{30}{36}\).

Порядок возрастания: \(\frac{13}{18} < \frac{3}{4} < \frac{7}{9} < \frac{5}{6} < \frac{7}{2}\).

2. а) Общий знаменатель для \(\frac{5}{12}\) и \(\frac{7}{15}\) — 60:

\(\frac{5}{12} = \frac{25}{60}\), \(\frac{7}{15} = \frac{28}{60}\).

Значит, \(\frac{5}{12} < \frac{7}{15}\).

б) Общий знаменатель для \(\frac{7}{12}\) и \(\frac{11}{18}\) — 36:

\(\frac{7}{12} = \frac{21}{36}\), \(\frac{11}{18} = \frac{22}{36}\).

Значит, \(\frac{7}{12} < \frac{11}{18}\).

3. а) \(\frac{5}{14} + \frac{5}{21} = \frac{15}{42} + \frac{10}{42} = \frac{25}{42}\);

б) \(\frac{5}{14} — \frac{5}{21} = \frac{15}{42} — \frac{10}{42} = \frac{5}{42}\);

в) \(\frac{17}{30} + \frac{11}{70} = \frac{119}{210} + \frac{33}{210} = \frac{152}{210} = \frac{76}{105}\);

г) \(\frac{17}{30} — \frac{11}{70} = \frac{119}{210} — \frac{33}{210} = \frac{86}{210} = \frac{43}{105}\);

д) \(\frac{9}{22} + \frac{2}{121} = \frac{99}{242} + \frac{4}{242} = \frac{103}{242}\);

е) \(\frac{9}{22} — \frac{2}{121} = \frac{99}{242} — \frac{4}{242} = \frac{95}{242}\).

4. а) Сравним доли: \(\frac{11}{13} > \frac{57}{60} > \frac{7}{12}\), значит, больше всех помнит Петя.

б) Больше всего нужно повторить тому, кто помнит меньше всего, то есть Мише.

в) Найдём общее количество слов. НОК (13, 60, 12) = \(780\).

г) Считаем, сколько слов нужно повторить:

Пете: \(780 — \frac{11}{13} \times 780 = 780 — 660 = 120\);

Вите: \(780 — \frac{57}{60} \times 780 = 780 — 741 = 39\);

Мише: \(780 — \frac{7}{12} \times 780 = 780 — 455 = 325\).

Проверочная работа № 2

1.
Сложили дроби с общим знаменателем: \( \frac{3}{14} = \frac{6}{28} \), сложили с \( \frac{1}{28} \), получили \( \frac{7}{28} = \frac{1}{4} \).
Вычли дроби с общим знаменателем 75: \( \frac{4}{15} = \frac{20}{75} \), \( \frac{3}{25} = \frac{9}{75} \), разность \( \frac{11}{75} \).
Сложили дроби с общим знаменателем 138: \( \frac{5}{46} = \frac{15}{138} \), \( \frac{4}{69} = \frac{8}{138} \), сумма \( \frac{23}{138} = \frac{1}{6} \).

2.
Перевели десятичные в дроби и сравнили с дробями через общий знаменатель:
\( \frac{5}{9} = \frac{125}{225} \), \( 0,56 = \frac{126}{225} \), значит \( \frac{5}{9} < 0,56 \).
\( 0,2 = \frac{11}{55} \), \( \frac{3}{11} = \frac{15}{55} \), значит \( 0,2 < \frac{3}{11} \).
\( \frac{2}{7} = \frac{8}{28} \), \( 0,25 = \frac{7}{28} \), значит \( \frac{2}{7} > 0,25 \).

3.
Вычислили \( x \) из уравнений, приведя к общему знаменателю:
\( x = \frac{4}{5} — \frac{7}{20} = \frac{9}{20} \).
\( x = \frac{2}{4} + \frac{2}{3} = \frac{7}{6} \).
\( x = \frac{11}{12} — \frac{1}{18} = \frac{31}{36} \).

4.
Вычислили разность и сумму дробей с общими знаменателями:
\( \left(\frac{4}{5} — \frac{2}{7}\right) — \frac{3}{70} = \frac{33}{70} \).
\( \frac{7}{9} + \frac{1}{15} — \frac{5}{18} + \frac{1}{30} = 0,6 \).

5.
Длина \( = \frac{3}{26} + \frac{5}{52} = \frac{11}{52} \) м.
Периметр \( = 2 \times \left(\frac{3}{26} + \frac{11}{52}\right) = \frac{17}{26} \) м.
Увеличение периметра \( = 2 \times \left(\frac{2}{65} + \frac{3}{78}\right) = \frac{9}{65} \) м.

Проверочная работа № 1

1. Чтобы расположить дроби в порядке возрастания, нужно привести их к общему знаменателю. Для этого сначала разложим знаменатели на простые множители: \(4 = 2^2\), \(18 = 2 \cdot 3^2\), \(2\) — простое число, \(9 = 3^2\), \(6 = 2 \cdot 3\). Наибольший общий кратный (НОК) для знаменателей \(4, 18, 2, 9, 6\) равен \(36\). Теперь каждую дробь умножим так, чтобы знаменатель стал равен \(36\):

\(\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 9}{4 \cdot 9} = \frac{27}{36}\),

\(\frac{13}{18} = \frac{13 \cdot 2}{18 \cdot 2} = \frac{26}{36}\),

\(\frac{7}{2} = \frac{7 \cdot 18}{2 \cdot 18} = \frac{126}{36}\),

\(\frac{7}{9} = \frac{7 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{28}{36}\),

\(\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 6}{6 \cdot 6} = \frac{30}{36}\).

Сравнивая числители, получаем порядок возрастания: \(\frac{26}{36} < \frac{27}{36} < \frac{28}{36} < \frac{30}{36} < \frac{126}{36}\), что соответствует исходным дробям:

\(\frac{13}{18} < \frac{3}{4} < \frac{7}{9} < \frac{5}{6} < \frac{7}{2}\).

2. а) Для сравнения времени \(\frac{5}{12}\) часа и \(\frac{7}{15}\) часа найдём общий знаменатель для дробей \(12\) и \(15\). Разложим на простые множители: \(12 = 2^2 \cdot 3\), \(15 = 3 \cdot 5\). НОК равен \(60\). Приведём дроби к знаменателю \(60\):

\(\frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{25}{60}\),

\(\frac{7}{15} = \frac{7 \cdot 4}{15 \cdot 4} = \frac{28}{60}\).

Так как \(25 < 28\), то \(\frac{5}{12} < \frac{7}{15}\).

б) Для сравнения \(\frac{7}{12}\) суток и \(\frac{11}{18}\) суток найдём общий знаменатель для \(12\) и \(18\). Разложим на простые множители: \(12 = 2^2 \cdot 3\), \(18 = 2 \cdot 3^2\). НОК равен \(36\). Приведём дроби к знаменателю \(36\):

\(\frac{7}{12} = \frac{7 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \frac{21}{36}\),

\(\frac{11}{18} = \frac{11 \cdot 2}{18 \cdot 2} = \frac{22}{36}\).

Поскольку \(21 < 22\), то \(\frac{7}{12} < \frac{11}{18}\).

3. а) Для сложения \(\frac{5}{14}\) и \(\frac{5}{21}\) найдём общий знаменатель. Разложим: \(14 = 2 \cdot 7\), \(21 = 3 \cdot 7\). НОК равен \(42\). Приведём дроби:

\(\frac{5}{14} = \frac{5 \cdot 3}{14 \cdot 3} = \frac{15}{42}\),

\(\frac{5}{21} = \frac{5 \cdot 2}{21 \cdot 2} = \frac{10}{42}\).

Сложим числители: \(15 + 10 = 25\). Ответ: \(\frac{25}{42}\).

б) Для вычитания \(\frac{5}{14} — \frac{5}{21}\) используем те же дроби с общим знаменателем \(42\):

\(\frac{15}{42} — \frac{10}{42} = \frac{5}{42}\).

в) Для сложения \(\frac{17}{30} + \frac{11}{70}\) найдём НОК знаменателей \(30\) и \(70\). Разложим: \(30 = 2 \cdot 3 \cdot 5\), \(70 = 2 \cdot 5 \cdot 7\). НОК равен \(210\). Приведём дроби:

\(\frac{17}{30} = \frac{17 \cdot 7}{30 \cdot 7} = \frac{119}{210}\),

\(\frac{11}{70} = \frac{11 \cdot 3}{70 \cdot 3} = \frac{33}{210}\).

Сложим: \(119 + 33 = 152\). Ответ: \(\frac{152}{210} = \frac{76}{105}\).

г) Для вычитания \(\frac{17}{30} — \frac{11}{70}\) используем те же дроби:

\(\frac{119}{210} — \frac{33}{210} = \frac{86}{210} = \frac{43}{105}\).

д) Для сложения \(\frac{9}{22} + \frac{2}{121}\) найдём НОК для \(22\) и \(121\). Разложим: \(22 = 2 \cdot 11\), \(121 = 11^2\). НОК равен \(242\). Приведём дроби:

\(\frac{9}{22} = \frac{9 \cdot 11}{22 \cdot 11} = \frac{99}{242}\),

\(\frac{2}{121} = \frac{2 \cdot 2}{121 \cdot 2} = \frac{4}{242}\).

Сложим: \(99 + 4 = 103\). Ответ: \(\frac{103}{242}\).

е) Для вычитания \(\frac{9}{22} — \frac{2}{121}\) используем те же дроби:

\(\frac{99}{242} — \frac{4}{242} = \frac{95}{242}\).

4. а) Чтобы определить, кто из ребят помнит больше английских слов, сравним дроби: \(\frac{11}{13}\), \(\frac{57}{60}\), \(\frac{7}{12}\). Найдём НОК для знаменателей \(13\), \(60\), и \(12\). Разложим: \(13\) — простое число, \(60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5\), \(12 = 2^2 \cdot 3\). НОК равен \(780\). Приведём дроби к знаменателю \(780\):

\(\frac{11}{13} = \frac{11 \cdot 60}{13 \cdot 60} = \frac{660}{780}\),

\(\frac{57}{60} = \frac{57 \cdot 13}{60 \cdot 13} = \frac{741}{780}\),

\(\frac{7}{12} = \frac{7 \cdot 65}{12 \cdot 65} = \frac{455}{780}\).

Сравнивая числители, видим, что \(\frac{57}{60} > \frac{11}{13} > \frac{7}{12}\). Значит, больше всех помнит Витя.

б) Кому нужно повторить больше слов? Тот, кто помнит меньше всего, то есть Мише, так как \(\frac{7}{12}\) — наименьшая дробь.

в) Всего за год ребята изучили меньше 800 слов, но мы уже нашли, что общий знаменатель равен \(780\), а это и есть общее количество слов, так как дроби выражают часть от общего количества.

г) Сколько слов нужно повторить каждому? Вычтем количество запомненных слов из общего:

Пете: \(780 — 660 = 120\) слов;

Вите: \(780 — 741 = 39\) слов;

Мише: \(780 — 455 = 325\) слов.

Проверочная работа № 2

1.
а) Чтобы сложить дроби \( \frac{3}{14} \) и \( \frac{1}{28} \), нужно привести их к общему знаменателю. Знаменатель 28 делится на 14, поэтому общий знаменатель будет 28. Переведём первую дробь к знаменателю 28: \( \frac{3}{14} = \frac{3 \times 2}{14 \times 2} = \frac{6}{28} \). Теперь складываем числители: \( 6 + 1 = 7 \), получается \( \frac{7}{28} \). Сократим дробь на 7: \( \frac{7}{28} = \frac{1}{4} \).

б) Для вычитания дробей \( \frac{4}{15} \) и \( \frac{3}{25} \) нужно найти общий знаменатель. Наименьшее общее кратное (НОК) чисел 15 и 25 равно 75. Приводим дроби к знаменателю 75: \( \frac{4}{15} = \frac{4 \times 5}{15 \times 5} = \frac{20}{75} \), \( \frac{3}{25} = \frac{3 \times 3}{25 \times 3} = \frac{9}{75} \). Вычитаем числители: \( 20 — 9 = 11 \), итоговая дробь \( \frac{11}{75} \).

в) Для сложения дробей \( \frac{5}{46} \) и \( \frac{4}{69} \) нужно найти общий знаменатель. НОК чисел 46 и 69 равен 138. Приводим дроби к знаменателю 138: \( \frac{5}{46} = \frac{5 \times 3}{46 \times 3} = \frac{15}{138} \), \( \frac{4}{69} = \frac{4 \times 2}{69 \times 2} = \frac{8}{138} \). Складываем числители: \( 15 + 8 = 23 \), получаем \( \frac{23}{138} \). Сократим дробь на 23: \( \frac{23}{138} = \frac{1}{6} \).

2.
а) Чтобы сравнить дробь \( \frac{5}{9} \) и десятичное число 0,56, переведём 0,56 в дробь. \( 0,56 = \frac{56}{100} \), сократим на 4: \( \frac{56}{100} = \frac{14}{25} \). Теперь нужно сравнить \( \frac{5}{9} \) и \( \frac{14}{25} \). Найдём НОК знаменателей 9 и 25: это 225. Приводим дроби к общему знаменателю: \( \frac{5}{9} = \frac{5 \times 25}{9 \times 25} = \frac{125}{225} \), \( \frac{14}{25} = \frac{14 \times 9}{25 \times 9} = \frac{126}{225} \). Сравниваем числители: 125 меньше 126, значит \( \frac{5}{9} < 0,56 \).

б) Сравним 0,2 и \( \frac{3}{11} \). Переведём 0,2 в дробь: \( 0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \). Найдём НОК знаменателей 5 и 11: 55. Приводим к общему знаменателю: \( \frac{1}{5} = \frac{11}{55} \), \( \frac{3}{11} = \frac{15}{55} \). Сравниваем числители: 11 меньше 15, значит \( 0,2 < \frac{3}{11} \).

в) Сравним \( \frac{2}{7} \) и 0,25. Переведём 0,25 в дробь: \( 0,25 = \frac{1}{4} \). НОК знаменателей 7 и 4 равен 28. Приводим к общему знаменателю: \( \frac{2}{7} = \frac{8}{28} \), \( \frac{1}{4} = \frac{7}{28} \). Сравниваем числители: 8 больше 7, значит \( \frac{2}{7} > 0,25 \).

3.
а) Уравнение \( x + \frac{7}{20} = \frac{4}{5} \). Чтобы найти \( x \), нужно вычесть \( \frac{7}{20} \) из \( \frac{4}{5} \). Приведём \( \frac{4}{5} \) к знаменателю 20: \( \frac{4}{5} = \frac{16}{20} \). Тогда \( x = \frac{16}{20} — \frac{7}{20} = \frac{9}{20} \).

б) Уравнение \( x — \frac{2}{3} = \frac{2}{4} \). Чтобы найти \( x \), прибавим \( \frac{2}{3} \) к обеим частям: \( x = \frac{2}{4} + \frac{2}{3} \). Приведём к общему знаменателю 12: \( \frac{2}{4} = \frac{6}{12} \), \( \frac{2}{3} = \frac{8}{12} \). Складываем: \( x = \frac{6}{12} + \frac{8}{12} = \frac{14}{12} = \frac{7}{6} = 1 \frac{1}{6} \).

в) Уравнение \( \frac{11}{12} — x = \frac{1}{18} \). Чтобы найти \( x \), вычтем \( \frac{1}{18} \) из \( \frac{11}{12} \). Приведём к общему знаменателю 36: \( \frac{11}{12} = \frac{33}{36} \), \( \frac{1}{18} = \frac{2}{36} \). Тогда \( x = \frac{33}{36} — \frac{2}{36} = \frac{31}{36} \).

4.
а) Вычислим выражение \( \left(\frac{4}{5} — \frac{2}{7}\right) — \frac{3}{70} \). Сначала найдём разность в скобках. Приведём к общему знаменателю 35: \( \frac{4}{5} = \frac{28}{35} \), \( \frac{2}{7} = \frac{10}{35} \). Разность: \( \frac{28}{35} — \frac{10}{35} = \frac{18}{35} \). Теперь вычтем \( \frac{3}{70} \). Приведём к общему знаменателю 70: \( \frac{18}{35} = \frac{36}{70} \). Вычитаем: \( \frac{36}{70} — \frac{3}{70} = \frac{33}{70} \).

б) Вычислим сумму и разность: \( \frac{7}{9} + \frac{1}{15} — \frac{5}{18} + \frac{1}{30} \). Сгруппируем: \( \left(\frac{7}{9} — \frac{5}{18}\right) + \left(\frac{1}{15} + \frac{1}{30}\right) \). Приведём к общему знаменателю 18: \( \frac{7}{9} = \frac{14}{18} \). Разность: \( \frac{14}{18} — \frac{5}{18} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2} \). Приведём к общему знаменателю 30: \( \frac{1}{15} = \frac{2}{30} \). Сумма: \( \frac{2}{30} + \frac{1}{30} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10} \). Итог: \( \frac{1}{2} + \frac{1}{10} = \frac{5}{10} + \frac{1}{10} = \frac{6}{10} = 0,6 \).

5.
а) Ширина прямоугольника равна \( \frac{3}{26} \) м, а длина на \( \frac{5}{52} \) м больше. Чтобы найти длину, нужно прибавить к ширине \( \frac{5}{52} \). Приведём к общему знаменателю 52: \( \frac{3}{26} = \frac{6}{52} \). Складываем: \( \frac{6}{52} + \frac{5}{52} = \frac{11}{52} \) м — длина прямоугольника.

б) Периметр прямоугольника равен \( 2 \times (\text{ширина} + \text{длина}) \). Подставим значения: \( 2 \times \left(\frac{3}{26} + \frac{11}{52}\right) \). Приведём к общему знаменателю 52: \( \frac{3}{26} = \frac{6}{52} \). Складываем: \( \frac{6}{52} + \frac{11}{52} = \frac{17}{52} \). Умножаем на 2: \( 2 \times \frac{17}{52} = \frac{34}{52} = \frac{17}{26} \) м — периметр.

в) Если увеличить ширину на \( \frac{2}{65} \) м и длину на \( \frac{3}{78} \) м, то периметр увеличится на удвоенную сумму этих изменений: \( 2 \times \left(\frac{2}{65} + \frac{3}{78}\right) \). Найдём общий знаменатель для сложения: НОК(65; 78) = 390. Приводим дроби: \( \frac{2}{65} = \frac{12}{390} \), \( \frac{3}{78} = \frac{15}{390} \). Складываем: \( \frac{12}{390} + \frac{15}{390} = \frac{27}{390} \). Умножаем на 2: \( 2 \times \frac{27}{390} = \frac{54}{390} = \frac{9}{65} \) м — на столько увеличится периметр.