ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Проверьте себя стр.54 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Проверочная работа

1 Какие из данных чисел являются взаимно простыми:

а) 12 и 15; б) 29 и 34; в) 25 и 30; г) 72 и 73?

2 Даны разложения на простые множители двух чисел:

\(2\cdot2\cdot5\cdot7\) и \(2\cdot7\cdot11\).

Найдите их наибольший общий делитель.

3 Найдите наибольший общий делитель чисел:

а) 34 и 56; б) 45 и 65; в) 102 и 204; г) 1005 и 960.

4 Разложите на простые множители числа 1440 и 240. Во сколько раз 1440 больше 240?

5 Дана правильная дробь \(\frac{m}{15}\). Найдите все значения \(m\) такие, чтобы числитель и знаменатель дроби были взаимно простыми.

1. Натуральные числа взаимно простые, если НОД равен 1.

а) \(12 = 2 \cdot 2 \cdot 3\), \(15 = 3 \cdot 5\). НОД\((12; 15) = 3 \neq 1\), не взаимно простые.

б) \(29\) — простое число, \(34 = 2 \cdot 17\). НОД\((29; 34) = 1\), взаимно простые.

в) \(25 = 5 \cdot 5\), \(30 = 2 \cdot 3 \cdot 5\). НОД\((25; 30) = 5 \neq 1\), не взаимно простые.

г) \(72 = 2^3 \cdot 3^2\), \(73\) — простое число. НОД\((72; 73) = 1\), взаимно простые.

2. Даны числа \(2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 7\) и \(2 \cdot 7 \cdot 11\). Общие множители: \(2\) и \(7\).
НОД = \(2 \cdot 7 = 14\).

3.
а) \(34 = 2 \cdot 17\), \(56 = 2^3 \cdot 7\). Общий множитель: \(2\). НОД\((34; 56) = 2\).

б) \(45 = 3^2 \cdot 5\), \(65 = 5 \cdot 13\). Общий множитель: \(5\). НОД\((45; 65) = 5\).

в) \(102 = 2 \cdot 3 \cdot 17\), \(204 = 2^2 \cdot 3 \cdot 17\). Общие множители: \(2, 3, 17\).
НОД\((102; 204) = 2 \cdot 3 \cdot 17 = 102\).

г) \(1005 = 3 \cdot 5 \cdot 67\), \(960 = 2^6 \cdot 3 \cdot 5\). Общие множители: \(3, 5\).
НОД\((1005; 960) = 3 \cdot 5 = 15\).

4.
\(1440 = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 5\), \(240 = 2^4 \cdot 3 \cdot 5\).
Отношение:
\(\frac{1440}{240} = \frac{2^5 \cdot 3^2 \cdot 5}{2^4 \cdot 3 \cdot 5} = 2^{5-4} \cdot 3^{2-1} = 2 \cdot 3 = 6\).
Ответ: в 6 раз.

5. Дробь \(\frac{m}{15}\) правильная, значит \(m < 15\).
Для взаимно простых числителя и знаменателя НОД\((m; 15) = 1\).
Разложение \(15 = 3 \cdot 5\), значит \(m\) не делится на 3 и 5.
Возможные \(m\): 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14.
Ответ: \(m = \{1; 2; 4; 7; 8; 11; 13; 14\}\).

1. Чтобы определить, являются ли два числа взаимно простыми, нужно найти их наибольший общий делитель (НОД). Если НОД равен 1, числа взаимно простые, то есть не имеют общих делителей, кроме 1. Рассмотрим числа из пункта а): \(12\) и \(15\). Разложим их на простые множители: \(12 = 2^2 \cdot 3\), \(15 = 3 \cdot 5\). Общий простой множитель у них один — число 3, значит НОД\((12; 15) = 3\), что не равно 1. Следовательно, числа не взаимно простые.

В пункте б) число 29 — простое, а 34 раскладывается в \(2 \cdot 17\). У них нет общих простых множителей, значит НОД\((29; 34) = 1\), и они взаимно простые. Для пункта в) \(25 = 5^2\), \(30 = 2 \cdot 3 \cdot 5\). Общий множитель — 5, НОД\((25; 30) = 5 \neq 1\), значит не взаимно простые. В пункте г) \(72 = 2^3 \cdot 3^2\), а 73 — простое число, не делится ни на 2, ни на 3, значит НОД\((72; 73) = 1\), числа взаимно простые.

2. Для нахождения НОД данных чисел \(2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 7\) и \(2 \cdot 7 \cdot 11\) нужно взять произведение всех простых множителей, которые встречаются в обоих числах, с наименьшей степенью. В первом числе множители \(2^2\), \(5\), \(7\), во втором — \(2\), \(7\), \(11\). Общие множители — \(2\) (минимальная степень 1) и \(7\). Значит НОД равен \(2 \cdot 7 = 14\).

3. а) Разложим числа: \(34 = 2 \cdot 17\), \(56 = 2^3 \cdot 7\). Общий множитель — \(2\) с минимальной степенью 1, значит НОД\((34; 56) = 2\).
б) \(45 = 3^2 \cdot 5\), \(65 = 5 \cdot 13\). Общий множитель — \(5\), НОД\((45; 65) = 5\).
в) \(102 = 2 \cdot 3 \cdot 17\), \(204 = 2^2 \cdot 3 \cdot 17\). Общие множители \(2\), \(3\), \(17\) с минимальными степенями \(2^1\), \(3^1\), \(17^1\). Значит НОД\((102; 204) = 2 \cdot 3 \cdot 17 = 102\).
г) \(1005 = 3 \cdot 5 \cdot 67\), \(960 = 2^6 \cdot 3 \cdot 5\). Общие множители — \(3\) и \(5\), НОД\((1005; 960) = 3 \cdot 5 = 15\).

4. Для вычисления, во сколько раз число 1440 больше числа 240, разложим их на простые множители: \(1440 = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 5\), \(240 = 2^4 \cdot 3 \cdot 5\). Чтобы найти отношение, делим:
\(\frac{1440}{240} = \frac{2^5 \cdot 3^2 \cdot 5}{2^4 \cdot 3 \cdot 5} = 2^{5-4} \cdot 3^{2-1} \cdot 5^{1-1} = 2 \cdot 3 \cdot 1 = 6\).
Ответ: число 1440 в 6 раз больше числа 240.

5. Числитель \(m\) дроби \(\frac{m}{15}\) должен быть меньше знаменателя 15, чтобы дробь была правильной. Для того чтобы дробь была несократимой, числитель и знаменатель должны быть взаимно простыми, то есть НОД\((m; 15) = 1\). Знаменатель \(15 = 3 \cdot 5\). Значит \(m\) не должен делиться ни на 3, ни на 5. Перебираем все \(m < 15\): 1, 2, 3, …, 14. Исключаем те, что делятся на 3 или 5: 3, 5, 6, 9, 10, 12, 15. Остаются: 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14.
Ответ: \(m = \{1; 2; 4; 7; 8; 11; 13; 14\}\).