ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Проверьте себя стр.50 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Проверочная работа № 1
1 Выберите верные утверждения:
а) любое натуральное число, которое имеет более двух делителей, называется простым;
б) любое натуральное число, которое имеет более двух делителей, называется составным;
в) любое натуральное число, которое имеет только два делителя, называется простым;
г) любое натуральное число, которое имеет только два делителя, называется составным;
д) 1 является простым числом;
е) 1 является составным числом.
2 Выпишите из чисел 1, 7, 20, 23, 31, 33, 43, 49, 60 те, которые являются: а) простыми; б) составными.
3 Запишите все делители числа 24. Сколько среди них простых?
4 Запишите все делители числа, представленного в виде произведения:
а) \(2\cdot3\cdot11\); б) \(3^2\cdot7\).

Проверочная работа № 2
1 а) Сколько существует простых чисел, меньших 20?
б) Сколько существует составных чисел, меньших 20?
в) Существуют ли составные нечётные числа? Если да, приведите пример.
г) Существуют ли простые чётные числа? Если да, приведите пример.
2 Разложите на простые множители число: а) 6; б) 9; в) 72; г) 124.
3 Найдите частное удобным способом:
а) \((3\cdot4\cdot2):3\);
б) \((5\cdot2\cdot7\cdot3\cdot2):(5\cdot2\cdot2)\);
в) \((7\cdot2\cdot5\cdot2\cdot11\cdot7\cdot13):(7\cdot2\cdot11\cdot13)\).

Проверочная работа № 3
1 Найдите все простые делители числа: а) 45; б) 56; в) 154; г) 1395.
2 Для числа 512 запишите:
а) множество A — всех простых делителей;
б) множество B — всех составных делителей;
в) множество C — всех чётных делителей;
г) множество D — всех нечётных делителей;
д) множество E — всех простых чётных делителей;
е) множество F — всех составных нечётных делителей.
3 Представьте число 36 в виде произведения трёх множителей, отличных от единицы. Сколько существует таких разложений?
2.57 Найдите все общие делители чисел:
а) 20 и 70; б) 36, 48 и 144; в) 22 и 105.

Проверочная работа № 1
1. а) неверно, число с более чем двумя делителями — составное.
б) верно, число с более чем двумя делителями — составное.
в) верно, число с двумя делителями — простое.
г) неверно, число с двумя делителями — простое.
д) неверно, 1 не является простым.
е) неверно, 1 не является составным.

Верные: б) и в).

2. а) Простые: 7, 23, 31, 43 (имеют ровно два делителя).
б) Составные: 20, 33, 49, 60 (имеют более двух делителей).

3. Делители числа 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
Простые среди них: 2 и 3 (ровно два делителя).

4. а) Делители числа \(2 \cdot 3 \cdot 11\): 1, 2, 3, 6, 11, 22, 33, 66.
б) Делители числа \(3^2 \cdot 7\): 1, 3, 7, 9, 21, 63.

Проверочная работа № 2
1 а) Простые числа, меньшие 20: \(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19\). Всего 8 простых чисел.

б) Составных чисел меньше 20: \(19 — 8 — 1 = 10\).

в) Существуют составные нечётные числа, например: \(9, 27, 33, 49\).

г) Существует одно простое чётное число — это число \(2\).

2 а) \(6 = 2 \cdot 3\).

б) \(9 = 3 \cdot 3 = 3^2\).

в) \(72 = 2^3 \cdot 3^2\).

г) \(124 = 2^2 \cdot 31\).

3 а) \((3 \cdot 4 \cdot 2) : 3 = \frac{3 \cdot 4 \cdot 2}{3} = 4 \cdot 2 = 8\).

б) \((5 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 3 \cdot 2) : (5 \cdot 2 \cdot 2) = \frac{5 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 3 \cdot 2}{5 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{7 \cdot 3}{1} = 21\).

в) \((7 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 11 \cdot 7 \cdot 13) : (7 \cdot 2 \cdot 11 \cdot 13) = \frac{7 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 11 \cdot 7 \cdot 13}{7 \cdot 2 \cdot 11 \cdot 13} = \frac{5 \cdot 2 \cdot 7}{1} = 70\).

Проверочная работа № 3
1.
а) Простые делители числа 45: \(3\) и \(5\).
б) Простые делители числа 56: \(2\) и \(7\).
в) Простые делители числа 154: \(2\), \(7\) и \(11\).
г) Простые делители числа 1395: \(3\), \(5\) и \(31\).

2.
а) \(A = \{2\}\) — множество всех простых делителей числа 512.
б) \(B = \{4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512\}\) — множество всех составных делителей числа 512.
в) \(C = \{2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512\}\) — множество всех чётных делителей числа 512.
г) \(D = \{1\}\) — множество всех нечётных делителей числа 512.
д) \(E = \{2\}\) — множество всех простых чётных делителей числа 512.
е) \(F = \emptyset\) — множество всех составных нечётных делителей числа 512.

3.
Число 36 можно представить как произведение трёх множителей (отличных от единицы) тремя способами:
\(36 = 2 \cdot 2 \cdot 9\),
\(36 = 2 \cdot 3 \cdot 6\),
\(36 = 3 \cdot 3 \cdot 4\).
Всего существует три таких разложения.

Проверочная работа № 1
1.
а) Утверждение, что любое натуральное число, имеющее более двух делителей, является простым, неверно. Простое число по определению имеет ровно два делителя: 1 и само число. Если число имеет более двух делителей, значит оно делится на другие числа, и такое число называют составным. Например, число 6 имеет делители 1, 2, 3 и 6 — всего четыре делителя, значит оно составное.

б) Утверждение, что любое натуральное число с более чем двумя делителями называется составным, верно. Составные числа отличаются от простых именно тем, что у них есть дополнительные делители помимо 1 и самого числа. Это значит, что они могут быть разложены на произведение простых чисел. Например, число 12 имеет делители 1, 2, 3, 4, 6, 12 — более двух, значит оно составное.

в) Утверждение, что любое натуральное число, имеющее ровно два делителя, называется простым, также верно. Простые числа — это те, которые делятся только на 1 и на себя. Например, число 7 делится только на 1 и 7, значит оно простое.

г) Утверждение, что число с ровно двумя делителями является составным, неверно, так как это определение простого числа.

д) Число 1 не является простым, так как у него только один делитель — само число 1, а для простого числа требуется ровно два делителя.

е) Число 1 не является составным, потому что составные числа имеют более двух делителей, а у 1 их только один.

Верные утверждения: б) и в).

2.
а) Чтобы определить простые числа из списка 1, 7, 20, 23, 31, 33, 43, 49, 60, нужно проверить количество делителей каждого. Простые числа имеют ровно два делителя — 1 и само число. Число 1 не является простым, так как у него только один делитель. Числа 7, 23, 31 и 43 имеют ровно два делителя, значит они простые.

б) Составные числа имеют более двух делителей. В приведённом списке это числа 20, 33, 49 и 60, так как они делятся на несколько чисел помимо 1 и себя. Например, 20 делится на 1, 2, 4, 5, 10 и 20.

3.
Делители числа 24 — это все числа, на которые 24 делится без остатка. Они включают 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 и 24. Среди них простыми являются только 2 и 3, так как они имеют ровно два делителя. Остальные делители либо 1, либо составные числа.

4.
а) Делители числа, представленого как произведение простых множителей \(2 \cdot 3 \cdot 11\), находятся путём умножения всех возможных сочетаний этих множителей. Это 1 (без множителей), 2, 3, 6 (2·3), 11, 22 (2·11), 33 (3·11) и 66 (2·3·11).

б) Для числа, представленного как \(3^2 \cdot 7\), делители включают 1, 3, 7, 9 (3 в квадрате), 21 (3·7) и 63 (3²·7). Они образуются комбинацией степеней простых множителей.

Проверочная работа № 2

1 а) Простые числа — это такие числа, которые имеют ровно два делителя: единицу и само число. Рассмотрим все числа меньше 20 и определим, какие из них простые. Начинаем с 2, так как 1 не является простым числом по определению. Число 2 делится только на 1 и 2, значит оно простое. Далее 3 — делится на 1 и 3, также простое. Числа 4 и 6 делятся на другие числа помимо 1 и себя, поэтому они составные. Перебирая все числа до 20, получаем следующий список простых: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. Всего таких чисел восемь. Это количество можно записать как \(8\).

б) Составные числа — это числа, у которых есть делители, кроме 1 и самого числа. Все числа от 2 до 19 включительно составляют множество из 18 чисел. Из них 8 — простые, и 1 — не простое и не составное. Значит количество составных чисел, меньших 20, будет равно общему количеству чисел от 2 до 19 минус количество простых: \(18 — 8 = 10\). Таким образом, десять чисел меньше 20 являются составными.

в) Нечётные составные числа — это составные числа, которые не делятся на 2. Например, число 9 делится на 3, значит оно составное и нечётное. Аналогично 15 делится на 3 и 5, 21 делится на 3 и 7, 27 делится на 3 и 9, 33 делится на 3 и 11, 35 делится на 5 и 7, 39 делится на 3 и 13, 45 делится на 3 и 15, 49 делится на 7 и 7. Все эти числа являются примерами составных нечётных чисел.

г) Единственное чётное простое число — это 2, потому что все чётные числа, большие 2, делятся на 2 и, следовательно, являются составными. Таким образом, существует ровно одно чётное простое число — число 2.

2 а) Разложение числа 6 на простые множители означает представить его в виде произведения простых чисел. Число 6 делится на 2 и 3, оба из которых простые. Следовательно, \(6 = 2 \cdot 3\).

б) Число 9 делится на 3, и при делении на 3 получается 3, то есть \(9 = 3 \cdot 3\). Это же можно записать как степень: \(9 = 3^2\).

в) Число 72 разложим на простые множители. Сначала делим на 2: \(72 : 2 = 36\), снова на 2: \(36 : 2 = 18\), и ещё раз на 2: \(18 : 2 = 9\). Теперь 9 разложим на 3 и 3: \(9 = 3 \cdot 3\). Таким образом, \(72 = 2^3 \cdot 3^2\).

г) Число 124 делится на 2: \(124 : 2 = 62\), ещё раз на 2: \(62 : 2 = 31\). Число 31 является простым. Следовательно, разложение: \(124 = 2^2 \cdot 31\).

3 а) Рассмотрим выражение \((3 \cdot 4 \cdot 2) : 3\). Сначала найдём произведение в числителе: \(3 \cdot 4 = 12\), \(12 \cdot 2 = 24\). Теперь делим: \(\frac{24}{3} = 8\).

б) Рассмотрим выражение \((5 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 3 \cdot 2) : (5 \cdot 2 \cdot 2)\). Сначала перемножим числитель: \(5 \cdot 2 = 10\), \(10 \cdot 7 = 70\), \(70 \cdot 3 = 210\), \(210 \cdot 2 = 420\). Теперь знаменатель: \(5 \cdot 2 = 10\), \(10 \cdot 2 = 20\). Делим: \(\frac{420}{20} = 21\).

в) Рассмотрим \((7 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 11 \cdot 7 \cdot 13) : (7 \cdot 2 \cdot 11 \cdot 13)\). В числителе произведение равно \(7 \cdot 2 = 14\), \(14 \cdot 5 = 70\), \(70 \cdot 2 = 140\), \(140 \cdot 11 = 1540\), \(1540 \cdot 7 = 10780\), \(10780 \cdot 13 = 140140\). В знаменателе: \(7 \cdot 2 = 14\), \(14 \cdot 11 = 154\), \(154 \cdot 13 = 2002\). Делим: \(\frac{140140}{2002} = 70\).

Проверочная работа № 3

1.
а) Чтобы найти все простые делители числа 45, нужно разложить его на простые множители. Число 45 делится на 3, так как сумма цифр \(4 + 5 = 9\) делится на 3. Делим: \(45 \div 3 = 15\). Далее 15 делится на 3: \(15 \div 3 = 5\). Число 5 — простое. Значит разложение: \(45 = 3^2 \cdot 5\). Простые делители — это числа, которые не делятся ни на какие другие числа кроме 1 и самих себя, следовательно, простые делители числа 45 — это \(3\) и \(5\).

б) Для числа 56 разложение на простые множители выглядит так: \(56 \div 2 = 28\), \(28 \div 2 = 14\), \(14 \div 2 = 7\), \(7\) — простое число. Значит \(56 = 2^3 \cdot 7\). Простые делители числа 56 — это \(2\) и \(7\). Здесь важно отметить, что 2 повторяется три раза, но в множестве простых делителей учитывается только уникальное значение.

в) Число 154 делится на 2, так как оно чётное: \(154 \div 2 = 77\). Далее 77 делится на 7: \(77 \div 7 = 11\). Число 11 — простое. Значит разложение: \(154 = 2 \cdot 7 \cdot 11\). Простые делители — \(2\), \(7\) и \(11\).

г) Число 1395 делится на 3, так как сумма цифр \(1 + 3 + 9 + 5 = 18\) делится на 3: \(1395 \div 3 = 465\). Далее \(465 \div 3 = 155\). Число 155 делится на 5: \(155 \div 5 = 31\). Число 31 — простое. Значит \(1395 = 3^2 \cdot 5 \cdot 31\). Простые делители — \(3\), \(5\) и \(31\).

2.
а) Число 512 — это степень двойки: \(512 = 2^9\). Значит единственный простой делитель — число \(2\). Множество всех простых делителей: \(A = \{2\}\).

б) Составные делители — это делители, которые не являются простыми и не равны 1. Для числа 512 составные делители — это все степени двойки от \(2^2\) до \(2^9\), то есть \(4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512\). Множество: \(B = \{4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512\}\).

в) Чётные делители числа 512 включают все степени двойки от \(2^1\) до \(2^9\), то есть \(2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512\). Множество: \(C = \{2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512\}\).

г) Нечётные делители числа 512 — это делители, которые не делятся на 2. Поскольку 512 — степень двойки, единственный нечётный делитель — это 1. Множество: \(D = \{1\}\).

д) Простые чётные делители — это простые числа, которые делятся на 2. Единственное такое число — 2. Множество: \(E = \{2\}\).

е) Составные нечётные делители — нечётные делители, которые не являются простыми. Так как у числа 512 нечётных делителей, кроме 1, нет, то таких составных нечётных делителей нет. Множество: \(F = \emptyset\).

3.
Число 36 разложим на простые множители: \(36 = 2^2 \cdot 3^2\). Теперь представим его в виде произведения трёх множителей, каждый из которых больше 1.

Первое разложение: \(36 = 2 \cdot 2 \cdot 9\), где 9 — составное число.

Второе: \(36 = 2 \cdot 3 \cdot 6\), где 6 — составное число.

Третье: \(36 = 3 \cdot 3 \cdot 4\), где 4 — составное число.

Всего существует три таких разложения, так как других вариантов разложения на три множителя, отличных от единицы, нет.