ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Проверьте себя стр.137 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Проверочная работа № 1
1 Одну из двух прямо пропорциональных величин увеличили в 4 раза. Как изменится вторая величина?
2 Одну из двух обратно пропорциональных величин уменьшили в 6 раз. Как изменится вторая величина?
3 Заполните таблицу, если величины \(x\) и \(y\) обратно пропорциональны.

4 Составьте задачу по схеме.
а)
Масса товара ↓ Стоимость покупки ↓
Покупка I 2,5 кг → 185 р.
Покупка II \(x\) кг → 407 р.

б)
Время ↓ Скорость ↓
Теплоход I 2 ч 45 мин → 20 км/ч
Теплоход II 2 ч 12 мин → \(x\) км/ч
Какая зависимость между величинами в составленных задачах? Решите составленные задачи с помощью пропорций.

Проверочная работа № 2
Рассмотрите таблицу и ответьте на вопросы.
1 Сколько нужно взять жидкости, чтобы получить 780 г рисовой жидкой каши?
2 Сколько нужно взять соли для приготовления 240 г вязкой овсяной каши?
3 Сколько нужно жидкости и соли для приготовления 500 г жидкой манной каши?
4 Приготовили 455 г жидкой овсяной каши. Сколько жидкости и соли потребовалось?

Проверочная работа № 1
1. Две величины прямо пропорциональны, если при увеличении (уменьшении) одной величины другая увеличивается (уменьшается) в то же число раз.
Если одну величину увеличили в 4 раза, то и другую увеличили в 4 раза.

2. Две величины обратно пропорциональны, если при увеличении (уменьшении) одной величины другая уменьшается (увеличивается) в то же число раз.
Если одну величину уменьшили в 6 раз, то другую увеличили в 6 раз.

3. Таблица величин \(x\) и \(y\), которые обратно пропорциональны:

Проверка обратной пропорциональности: \(x \cdot y = \text{const}\).

Примеры вычислений:
При \(x=80\), \(y = \frac{60}{80} \cdot 4 = \frac{60}{20} = 3\).
При \(y=2\), \(x = \frac{4}{2} \cdot 60 = 2 \cdot 60 = 120\).
При \(x=9,6\), \(y = \frac{60}{9,6} \cdot 4 = \frac{600}{96} = \frac{600}{24} = 25\).
При \(y=1,5\), \(x = \frac{4}{1,5} \cdot 60 = \frac{40}{15} \cdot 60 = 40 \cdot 4 = 160\).
При \(y=2,5\), \(x = \frac{4}{2,5} \cdot 60 = \frac{40}{25} \cdot 60 = \frac{8}{5} \cdot 60 = 8 \cdot 12 = 96\).
При \(y=3 \frac{3}{4} = \frac{15}{4}\), \(x = 4 : \frac{15}{4} \cdot 60 = 4 \cdot \frac{4}{15} \cdot 60 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64\).
При \(x=12\), \(y = \frac{60}{12} \cdot 4 = \frac{60}{3} = 20\).

4а) Мама купила карамельки и печенье по одинаковой цене.
Дано: 2,5 кг карамелек стоят 185 р., печенье стоит 407 р.
Найти: сколько кг печенья купила мама?

Решение:
Прямо пропорциональная зависимость, составляем пропорцию:
\(\frac{2,5}{x} = \frac{185}{407}\)
\(x = \frac{2,5 \cdot 407}{185} = \frac{25 \cdot 407}{185 \cdot 10} = \frac{5 \cdot 407}{37 \cdot 10} = \frac{5 \cdot 11}{1 \cdot 10} = \frac{55}{10} = 5,5\) кг — печенья купила мама.

Ответ: 5,5 кг.

4б) Первый теплоход проходит расстояние за 2 ч 45 мин, второй — за 2 ч 12 мин. Скорость первого теплохода 20 км/ч. Найти скорость второго.

Решение:
Переводим время в часы:
\(2 \text{ч } 45 \text{мин} = 2 + \frac{45}{60} = 2 \frac{3}{4}\) ч,
\(2 \text{ч } 12 \text{мин} = 2 + \frac{12}{60} = 2 \frac{1}{5}\) ч.

Обратно пропорциональная зависимость, составляем пропорцию:
\(2 \frac{3}{4} : 2 \frac{1}{5} = x : 20\)
\(x = \frac{2 \frac{3}{4} \cdot 20}{2 \frac{1}{5}} = \frac{\frac{11}{4} \cdot 20}{\frac{11}{5}} = \frac{11 \cdot 20}{4} \cdot \frac{5}{11} = 5 \cdot 5 = 25\) км/ч — скорость второго теплохода.

Ответ: 25 км/ч.

Проверочная работа № 2
1. Дано: 570 г жид. – 650 г каши, \(x\) г жид. – 780 г каши.
Решение:
Прямая пропорция: \(\frac{570}{x} = \frac{650}{780}\).
\(x = \frac{570 \cdot 780}{650} = \frac{57 \cdot 780}{65} = 684\) г жидкости.
Ответ: 684 г.

2. Дано: 4 г соли – 400 г каши, \(x\) г соли – 240 г каши.
Решение:
Прямая пропорция: \(\frac{4}{x} = \frac{400}{240}\).
\(x = \frac{4 \cdot 240}{400} = \frac{240}{100} = 2{,}4\) г соли.
Ответ: 2,4 г.

3. Дано: 570 г жид. – 650 г каши, \(x\) г жид. – 500 г каши.
Решение:
Прямая пропорция: \(\frac{570}{x} = \frac{650}{500}\).
\(x = \frac{570 \cdot 500}{650} = \frac{57 \cdot 500}{65} = \frac{5700}{13} = 438 \frac{6}{13}\) г жидкости.

Дано: 6 г соли – 650 г каши, \(x\) г соли – 500 г каши.
Решение:
Прямая пропорция: \(\frac{6}{x} = \frac{650}{500}\).
\(x = \frac{6 \cdot 500}{650} = \frac{6 \cdot 50}{65} = \frac{60}{13} = 4 \frac{8}{13}\) г соли.
Ответ: \(438 \frac{6}{13}\) г жидкости и \(4 \frac{8}{13}\) г соли.

4. Дано: 420 г жид. – 500 г каши, \(x\) г жид. – 455 г каши.
Решение:
Прямая пропорция: \(\frac{420}{x} = \frac{500}{455}\).
\(x = \frac{420 \cdot 455}{500} = \frac{84 \cdot 91}{100} = 382{,}2\) г жидкости.

Дано: 5 г соли – 500 г каши, \(x\) г соли – 455 г каши.
Решение:
Прямая пропорция: \(\frac{5}{x} = \frac{500}{455}\).
\(x = \frac{5 \cdot 455}{500} = \frac{455}{100} = 4{,}55\) г соли.
Ответ: 382,2 г жидкости и 4,55 г соли.

Проверочная работа № 1
1. Две величины называются прямо пропорциональными, если при изменении одной величины в несколько раз другая величина изменяется в ту же сторону и в то же количество раз. Это означает, что если первая величина увеличивается, то и вторая увеличивается пропорционально, если уменьшается — то и вторая уменьшается пропорционально. Например, если одну из величин увеличить в 4 раза, то и другая увеличится в 4 раза. Такое поведение описывается формулой \( y = kx \), где \( k \) — постоянный коэффициент пропорциональности. Таким образом, отношение двух прямо пропорциональных величин сохраняется постоянным: \( \frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2} \).

Если взять конкретный пример, когда одна величина увеличивается в 4 раза, то вторая тоже должна увеличиться в 4 раза, чтобы сохранить пропорциональность. Это значит, что если \( x_2 = 4x_1 \), то \( y_2 = 4y_1 \). Такой закон важен для решения задач, где нужно найти неизвестную величину, зная изменение другой величины и их взаимосвязь.

В практике это часто встречается, например, при вычислении стоимости товаров при изменении количества или при скорости и времени движения, если они связаны прямо пропорционально. Это базовое понятие помогает быстро и точно находить неизвестные значения, используя простые пропорции.

2. Две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной величины другая уменьшается в столько же раз, и наоборот. Это значит, что произведение этих величин постоянно: \( x \cdot y = k \), где \( k \) — постоянное число. Если одну величину уменьшили в 6 раз, то другая величина увеличилась в 6 раз. Такая зависимость часто встречается в задачах, связанных с движением, где скорость и время связаны обратно пропорционально: чем быстрее движется объект, тем меньше времени он тратит на путь.

Для примера, если \( x \) уменьшили в 6 раз, то \( y = \frac{k}{x} \) увеличится в 6 раз, чтобы произведение осталось постоянным. Это позволяет решать задачи, где изменение одной величины влияет на другую противоположным образом, что удобно использовать при расчетах.

Обратная пропорциональность широко применяется в физике, экономике и других науках, где важно учитывать, что увеличение одной величины ведет к уменьшению другой, но произведение остается неизменным. Это помогает моделировать и прогнозировать поведение систем.

3. Рассмотрим таблицу величин \( x \) и \( y \), которые обратно пропорциональны:

Обратная пропорциональность означает, что произведение \( x \cdot y \) постоянно для всех пар значений. Проверим несколько значений:
При \( x = 80 \), \( y = \frac{60}{80} \cdot 4 = \frac{60}{20} = 3 \), что совпадает с таблицей.
При \( y = 2 \), \( x = \frac{4}{2} \cdot 60 = 2 \cdot 60 = 120 \), также совпадает.

Далее:
При \( x = 9,6 \), \( y = \frac{60}{9,6} \cdot 4 = \frac{600}{96} = \frac{600}{24} = 25 \).
При \( y = 1,5 \), \( x = \frac{4}{1,5} \cdot 60 = \frac{40}{15} \cdot 60 = 40 \cdot 4 = 160 \).
При \( y = 2,5 \), \( x = \frac{4}{2,5} \cdot 60 = \frac{40}{25} \cdot 60 = \frac{8}{5} \cdot 60 = 8 \cdot 12 = 96 \).
При \( y = 3 \frac{3}{4} = \frac{15}{4} \), \( x = 4 : \frac{15}{4} \cdot 60 = 4 \cdot \frac{4}{15} \cdot 60 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64 \).
При \( x = 12 \), \( y = \frac{60}{12} \cdot 4 = \frac{60}{3} = 20 \).

Все эти вычисления подтверждают, что величины \( x \) и \( y \) связаны обратной пропорциональностью.

4а) Мама купила карамельки и печенье по одинаковой цене за килограмм. Известно, что за 2,5 кг карамелек она заплатила 185 рублей, а за печенье — 407 рублей. Нужно найти, сколько килограммов печенья она купила.

Поскольку цена за килограмм одинакова, масса и цена связаны прямо пропорционально: чем больше масса, тем больше цена. Для нахождения массы печенья составим пропорцию:
\(\frac{2,5}{x} = \frac{185}{407}\), где \(x\) — масса печенья в килограммах.

Чтобы найти \(x\), умножаем обе части пропорции на \(x\) и на \( \frac{407}{185} \), получаем:
\(x = \frac{2,5 \cdot 407}{185}\).

Выполним вычисления:
\(x = \frac{25 \cdot 407}{185 \cdot 10} = \frac{5 \cdot 407}{37 \cdot 10} = \frac{5 \cdot 11}{1 \cdot 10} = \frac{55}{10} = 5,5\) кг.

Таким образом, мама купила 5,5 кг печенья.

4б) Первый теплоход проходит расстояние между двумя городами за 2 часа 45 минут, второй — за 2 часа 12 минут. Известно, что скорость первого теплохода равна 20 км/ч. Нужно найти скорость второго теплохода.

Сначала переведём время в часы:
\(2 \text{ч } 45 \text{мин} = 2 + \frac{45}{60} = 2 \frac{3}{4}\) часа,
\(2 \text{ч } 12 \text{мин} = 2 + \frac{12}{60} = 2 \frac{1}{5}\) часа.

Поскольку расстояние одинаковое, время и скорость связаны обратно пропорционально: чем больше скорость, тем меньше время. Значит,
\(t_1 : t_2 = v_2 : v_1\), где \(t_1, t_2\) — времена, \(v_1, v_2\) — скорости теплоходов.

Составим пропорцию:
\(2 \frac{3}{4} : 2 \frac{1}{5} = x : 20\), где \(x\) — скорость второго теплохода.

Вычислим \(x\):
\(x = \frac{2 \frac{3}{4} \cdot 20}{2 \frac{1}{5}} = \frac{\frac{11}{4} \cdot 20}{\frac{11}{5}} = \frac{11 \cdot 20}{4} \cdot \frac{5}{11} = 5 \cdot 5 = 25\) км/ч.

Ответ: скорость второго теплохода равна 25 км/ч.

Проверочная работа № 2
1. Рассмотрим задачу, где дано: 570 г жидкости соответствует 650 г каши, а требуется найти, сколько жидкости \(x\) нужно для приготовления 780 г каши. Здесь предполагается прямая пропорциональная зависимость, то есть количество жидкости изменяется пропорционально количеству каши. Для решения составляем пропорцию:

\(\frac{570}{x} = \frac{650}{780}\).

Это означает, что отношение массы жидкости к массе каши при первом наборе равно отношению массы жидкости к массе каши во втором наборе. Чтобы найти \(x\), нужно выразить его из пропорции:

\(x = \frac{570 \cdot 780}{650}\).

Далее упрощаем выражение, сокращая множители:

\(x = \frac{57 \cdot 780}{65}\).

Разделим числитель и знаменатель на 5 для удобства:

\(x = \frac{57 \cdot 12}{1} = 684\) г жидкости.

Это значит, чтобы получить 780 г рисовой жидкой каши, необходимо взять 684 г жидкости.

2. В следующей задаче дано: 4 г соли на 400 г каши, нужно найти, сколько соли \(x\) потребуется на 240 г каши. Аналогично первой задаче, используем прямую пропорциональность. Составляем пропорцию:

\(\frac{4}{x} = \frac{400}{240}\).

Отношение количества соли к массе каши одинаково в обоих случаях. Выразим \(x\):

\(x = \frac{4 \cdot 240}{400}\).

Упростим дробь:

\(x = \frac{240}{100} = 2{,}4\) г соли.

Значит, для приготовления 240 г вязкой овсяной каши нужно взять 2,4 г соли.

3. В третьей задаче известно: 570 г жидкости соответствует 650 г каши, требуется найти количество жидкости \(x\) для 500 г каши. Составляем пропорцию:

\(\frac{570}{x} = \frac{650}{500}\).

Выразим \(x\):

\(x = \frac{570 \cdot 500}{650} = \frac{57 \cdot 500}{65}\).

Сократим дробь:

\(x = \frac{57 \cdot 100}{13} = \frac{5700}{13} = 438 \frac{6}{13}\) г жидкости.

Это количество жидкости, необходимое для приготовления 500 г жидкой манной каши.

Также в этой задаче нужно найти количество соли \(x\), если 6 г соли приходится на 650 г каши, а требуется на 500 г каши. Пропорция:

\(\frac{6}{x} = \frac{650}{500}\).

Выразим \(x\):

\(x = \frac{6 \cdot 500}{650} = \frac{6 \cdot 50}{65} = \frac{60}{13} = 4 \frac{8}{13}\) г соли.

Таким образом, для приготовления 500 г жидкой манной каши нужно взять \(438 \frac{6}{13}\) г жидкости и \(4 \frac{8}{13}\) г соли.

4. В четвертой задаче дано: 420 г жидкости соответствует 500 г каши, нужно найти количество жидкости \(x\) для 455 г каши. Пропорция:

\(\frac{420}{x} = \frac{500}{455}\).

Выразим \(x\):

\(x = \frac{420 \cdot 455}{500}\).

Упростим произведение:

\(x = \frac{84 \cdot 91}{100} = \frac{3822}{10} = 382{,}2\) г жидкости.

Это количество жидкости, необходимое для приготовления 455 г жидкой овсяной каши.

Далее нужно найти количество соли \(x\), если 5 г соли приходится на 500 г каши, а требуется на 455 г каши. Пропорция:

\(\frac{5}{x} = \frac{500}{455}\).

Выразим \(x\):

\(x = \frac{5 \cdot 455}{500} = \frac{455}{100} = 4{,}55\) г соли.

Ответ: для приготовления 455 г жидкой овсяной каши потребуется 382,2 г жидкости и 4,55 г соли.