ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Проверьте себя стр.124 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Проверочная работа № 1
1 Найдите отношение:
а) 125 к 5; б) 5 к 125; в) 0,4 к 25; г) 0,7 к 0,2; д) \(2\frac{3}{4}\) к \(3\frac{1}{5}\); е) \(4\frac{2}{7}\) к 0,14.

2 Найдите отношение величин:
а) 4 кг к 1 т; б) 45 мин к 1 ч 15 мин; в) 28 дм к 3 м; г) 10 а к 500 га; д) 80 л к 2 м\(^3\); е) 12 км к 2 ч.

3 Выразите в процентах отношение:
а) 2 мм к 1 см; б) 3 мин к 1 ч.

4 Верно ли?
а) Произведение двух взаимно обратных отношений равно 1.
б) Частное двух взаимно обратных отношений равно 1.
в) Отношение двух чисел уменьшится, если каждое из них разделить на 5.
г) Отношение \(a : b\) показывает какую часть число \(a\) составляет от числа \(b\).

Проверочная работа № 2
1 Разделите число 693 в отношении:
а) 1 : 98; б) 2 : 7; в) 2 : 5; г) 4 : 7; д) 34 : 43; е) 2 : 3.

2 Рассмотрите рисунок 3.1 и ответьте на вопросы.
а) Какую часть площадь дома составляет от площади участка?
б) Во сколько раз площадь гаража меньше площади дома?
в) Найдите отношение площади дома к площади огорода и отношение площади огорода к площади дома.
г) Площадь выделенную под огород планируют разделить в отношении 1 : 5. Меньшую из полученных площадей займёт парник. Найдите площадь парника.

Проверочная работа № 1
1. а) \(125 : 5 = 25\);
б) \(5 : 125 = \frac{5}{125} = \frac{1}{25}\);
в) \(0{,}4 : 25 = \frac{4}{10} : 25 = \frac{4}{10} \cdot \frac{1}{25} = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{25} = \frac{2 \cdot 1}{5 \cdot 25} = \frac{2}{125}\);
г) \(0{,}7 : 0{,}2 = 7 : 2 = \frac{7}{2} = 3 \frac{1}{2} = 3{,}5\);
д) \(2 \frac{3}{4} : 3 \frac{1}{5} = \frac{11}{4} : \frac{16}{5} = \frac{11}{4} \cdot \frac{5}{16} = \frac{11 \cdot 5}{4 \cdot 16} = \frac{55}{64}\);
е) \(4 \frac{2}{7} : 0{,}14 = \frac{30}{7} : \frac{14}{100} = \frac{30}{7} \cdot \frac{100}{14} = \frac{30}{7} \cdot \frac{50}{7} = \frac{30 \cdot 50}{7 \cdot 7} = \frac{1500}{49} = 30 \frac{30}{49}\).

2. а) \(1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}; \quad 4 \text{ кг} : 1000 \text{ кг} = \frac{4}{1000} = 0{,}004\);
б) \(1 \text{ ч } 15 \text{ мин} = 60 + 15 = 75 \text{ мин}; \quad 45 : 75 = \frac{45}{75} = \frac{3}{5}\);
в) \(3 \text{ м} = 30 \text{ дм}; \quad 28 : 30 = \frac{28}{30} = \frac{14}{15}\);
г) \(500 \text{ га} = 50000 \text{ а}; \quad 10 : 50000 = \frac{10}{50000} = \frac{1}{5000}\);
д) \(2 \text{ м}^3 = 2000 \text{ л}; \quad 80 : 2000 = \frac{80}{2000} = \frac{1}{25}\);
е) \(12 \text{ км} : 2 \text{ ч} = 6 \text{ км/ч}\).

3. а) \(1 \text{ см} = 10 \text{ мм}; \quad 2 : 10 = 0{,}2 = 20\%\);
б) \(1 \text{ ч} = 60 \text{ мин}; \quad 3 : 60 = \frac{3}{60} = \frac{1}{20} = 5\%\).

4. а) Произведение двух взаимно обратных отношений равно 1 — верно.
б) Частное двух взаимно обратных отношений равно 1 — неверно, например, \(\frac{2}{3} : \frac{3}{2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9} \neq 1\).
в) Отношение двух чисел не уменьшится, если каждое из них разделить на 5, оно не изменится — неверно.
г) Отношение \(a : b\) показывает, какую часть число \(a\) составляет от числа \(b\) — верно.

Проверочная работа № 2
1) 1. Вычисляем сумму частей: \(1 + 98 = 99\).
Делим 693 на 99: \(693 : 99 = 7\) — одна часть.
Умножаем на каждую часть: \(7 \cdot 1 = 7\), \(7 \cdot 98 = 686\).
Проверяем сумму: \(7 + 686 = 693\).

2. Сумма частей: \(2 + 7 = 9\).
Делим 693 на 9: \(693 : 9 = 77\) — одна часть.
Умножаем: \(77 \cdot 2 = 154\), \(77 \cdot 7 = 539\).
Проверяем сумму: \(154 + 539 = 693\).

3. Сумма частей: \(2 + 5 = 7\).
Делим 693 на 7: \(693 : 7 = 99\) — одна часть.
Умножаем: \(99 \cdot 2 = 198\), \(99 \cdot 5 = 495\).
Проверяем сумму: \(198 + 495 = 693\).

4. Сумма частей: \(4 + 7 = 11\).
Делим 693 на 11: \(693 : 11 = 63\) — одна часть.
Умножаем: \(63 \cdot 4 = 252\), \(63 \cdot 7 = 441\).
Проверяем сумму: \(252 + 441 = 693\).

5. Сумма частей: \(34 + 43 = 77\).
Делим 693 на 77: \(693 : 77 = 9\) — одна часть.
Умножаем: \(9 \cdot 34 = 306\), \(9 \cdot 43 = 387\).
Проверяем сумму: \(306 + 387 = 693\).

6. Сумма частей: \(2 + 3 = 5\).
Делим 693 на 5: \(693 : 5 = 138{,}6\) — одна часть.
Умножаем: \(138{,}6 \cdot 2 = 277{,}2\), \(138{,}6 \cdot 3 = 415{,}8\).
Проверяем сумму: \(277{,}2 + 415{,}8 = 693\).

2) Площадь участка: \(24^2 = 576 \, м^2\).

Площадь дома: \(9 \cdot 6 = 54 \, м^2\).

Площадь гаража: \(6 \cdot 3 = 18 \, м^2\).

Площадь огорода: \(24 \cdot 6 = 144 \, м^2\).

а) Доля дома от участка:
\(\frac{54}{576} = \frac{3}{32}\).

б) Во сколько раз площадь гаража меньше дома:
\(\frac{54}{18} = 3\).

в) Отношение площади дома к огороду:
\(\frac{54}{144} = \frac{3}{8}\).

Отношение площади огорода к дому:
\(\frac{144}{54} = \frac{8}{3} = 2 \frac{2}{3}\).

г) Площадь парника:
\(144 : (1 + 5) = 144 : 6 = 24 \, м^2\).

Ответ:
а) \(\frac{3}{32}\) часть;
б) в 3 раза;
в) \(\frac{3}{8}\) часть;
г) \(24 \, м^2\).

Проверочная работа № 1
1. а) Деление числа 125 на 5 — это операция, которая показывает, сколько раз число 5 помещается в числе 125. Чтобы найти результат, нужно разделить 125 на 5, то есть выполнить действие \(125 : 5\). В результате получается 25, потому что \(5 \times 25 = 125\). Это простая операция деления, которая показывает соотношение между двумя числами.

б) Деление числа 5 на 125 можно представить в виде дроби \(\frac{5}{125}\). Чтобы упростить эту дробь, нужно найти общий делитель числителя и знаменателя. Число 5 делится на 5, а 125 тоже делится на 5, поэтому делим числитель и знаменатель на 5: \(\frac{5}{125} = \frac{1}{25}\). Это показывает, что 5 — это одна двадцать пятая часть от 125.

в) Деление десятичного числа 0,4 на 25 можно преобразовать в деление дробей. Число 0,4 записывается как \(\frac{4}{10}\). Деление на 25 эквивалентно умножению на обратное число \(\frac{1}{25}\). Значит, \(0{,}4 : 25 = \frac{4}{10} \cdot \frac{1}{25}\). Умножая дроби, перемножаем числители и знаменатели: \(\frac{4 \cdot 1}{10 \cdot 25} = \frac{4}{250}\). Сокращаем дробь, деля числитель и знаменатель на 2: \(\frac{2}{125}\). Таким образом, результат деления равен \(\frac{2}{125}\).

г) Деление десятичных чисел 0,7 на 0,2 можно упростить, умножив оба числа на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей: \(0{,}7 : 0{,}2 = 7 : 2\). Теперь делим 7 на 2, что даёт смешанное число \(3 \frac{1}{2}\) или десятичное число 3,5. Это показывает, что 0,7 в 3,5 раза больше 0,2.

д) Деление смешанных чисел \(2 \frac{3}{4}\) на \(3 \frac{1}{5}\) требует перевода в неправильные дроби. \(2 \frac{3}{4} = \frac{11}{4}\), а \(3 \frac{1}{5} = \frac{16}{5}\). Деление дробей — это умножение первой дроби на обратную второй: \(\frac{11}{4} : \frac{16}{5} = \frac{11}{4} \cdot \frac{5}{16} = \frac{11 \cdot 5}{4 \cdot 16} = \frac{55}{64}\). Полученная дробь — это результат деления.

е) Деление смешанного числа \(4 \frac{2}{7}\) на десятичное число 0,14 требует перевода в дроби. \(4 \frac{2}{7} = \frac{30}{7}\), а 0,14 — это \(\frac{14}{100}\). Деление равно умножению на обратную дробь: \(\frac{30}{7} : \frac{14}{100} = \frac{30}{7} \cdot \frac{100}{14}\). Упрощаем дроби: \(\frac{100}{14} = \frac{50}{7}\). Тогда произведение равно \(\frac{30}{7} \cdot \frac{50}{7} = \frac{1500}{49}\). Это неправильная дробь, которую можно записать как смешанное число \(30 \frac{30}{49}\).

2. а) Величина 1 тонна (т) равна 1000 килограммам (кг). Чтобы найти отношение 4 кг к 1000 кг, нужно разделить 4 на 1000: \(4 : 1000 = \frac{4}{1000} = 0{,}004\). Это показывает, что 4 кг — это 0,004 часть от тонны.

б) Чтобы сложить время 1 час 15 минут, переводим часы в минуты: 1 час = 60 минут, значит \(60 + 15 = 75\) минут всего. Теперь делим 45 минут на 75 минут: \(45 : 75 = \frac{45}{75}\). Сокращаем дробь, деля числитель и знаменатель на 15: \(\frac{3}{5}\). Это показывает, что 45 минут — это три пятых от 75 минут.

в) Перевод 3 метров в дециметры: 1 метр = 10 дециметров, значит \(3 \text{ м} = 30 \text{ дм}\). Чтобы найти отношение 28 дм к 30 дм, записываем дробь \(\frac{28}{30}\). Сокращаем дробь, деля на 2: \(\frac{14}{15}\). Это показывает, что 28 дм составляют \(\frac{14}{15}\) от 30 дм.

г) Перевод гектаров в ара: 1 гектар = 100 ар, значит \(500 \text{ га} = 500 \times 100 = 50000 \text{ а}\). Отношение 10 а к 50000 а равно \(\frac{10}{50000} = \frac{1}{5000}\). Это показывает, что 10 ар — это одна пяти тысячная часть от 50000 ар.

д) Перевод кубометров в литры: 1 кубометр = 1000 литров, значит \(2 \text{ м}^3 = 2000 \text{ л}\). Отношение 80 л к 2000 л равно \(\frac{80}{2000} = \frac{1}{25}\). Это показывает, что 80 литров — это одна двадцать пятая часть от 2000 литров.

е) Скорость равна расстоянию, делённому на время. Если 12 км пройдено за 2 часа, то скорость равна \(12 : 2 = 6\) км/ч.

3. а) В 1 сантиметре содержится 10 миллиметров, значит \(1 \text{ см} = 10 \text{ мм}\). Чтобы найти отношение 2 мм к 10 мм, делим 2 на 10: \(2 : 10 = 0{,}2\). В процентах это \(0{,}2 \times 100\% = 20\%\). Значит 2 мм — это 20% от 1 см.

б) В одном часе 60 минут, значит \(1 \text{ ч} = 60 \text{ мин}\). Чтобы найти, сколько процентов составляют 3 минуты от часа, делим 3 на 60: \(3 : 60 = \frac{3}{60} = \frac{1}{20}\). В процентах это \(\frac{1}{20} \times 100\% = 5\%\). Значит 3 минуты — это 5% от часа.

4. а) Взаимно обратные отношения — это такие числа, произведение которых равно 1. Если взять два взаимно обратных отношения и перемножить их, результат всегда будет равен 1. Это фундаментальное свойство обратных чисел.

б) Частное двух взаимно обратных отношений не обязательно равно 1. Например, если взять отношения \(\frac{2}{3}\) и \(\frac{3}{2}\), то частное будет равно \(\frac{2}{3} : \frac{3}{2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9} \neq 1\). Это показывает, что деление взаимно обратных отношений не даёт 1.

в) Если разделить оба числа на одно и то же число, отношение между ними не изменится, потому что и числитель, и знаменатель уменьшаются пропорционально. Например, отношение \(a : b\) при делении на 5 станет \(\frac{a}{5} : \frac{b}{5} = \frac{a}{b}\). Значит отношение не уменьшится.

г) Отношение \(a : b\) показывает, какую часть число \(a\) составляет от числа \(b\). Это можно записать как дробь \(\frac{a}{b}\), которая выражает долю \(a\) относительно \(b\). Такое понимание помогает определить, насколько одно число больше или меньше другого.

Проверочная работа № 2
1) 1. Для начала необходимо понять, что число 693 нужно разделить на две части в заданном отношении. Отношение — это способ показать, как одна часть связана с другой через множители. В первом случае отношение равно \(1 : 98\). Это означает, что если первую часть принять за 1 условную единицу, то вторую часть нужно принять за 98 таких же единиц. Суммируем части: \(1 + 98 = 99\). Теперь делим общее число 693 на сумму частей, чтобы найти размер одной части: \(693 : 99 = 7\). Это значит, что одна часть равна 7.

Далее, чтобы найти каждую часть, умножаем размер одной части на соответствующий множитель из отношения. Первая часть: \(7 \cdot 1 = 7\), вторая часть: \(7 \cdot 98 = 686\). Проверяем правильность: сумма частей должна равняться исходному числу, то есть \(7 + 686 = 693\), что совпадает с условием. Таким образом, число 693 разделено на 7 и 686 в отношении \(1 : 98\).

Такой способ решения можно использовать для всех остальных случаев, где нужно разделить число в заданном отношении.

2. В этом примере отношение равно \(2 : 7\). Аналогично предыдущему, складываем части: \(2 + 7 = 9\). Делим число 693 на сумму частей: \(693 : 9 = 77\). Это размер одной части. Умножаем на множители: первая часть \(77 \cdot 2 = 154\), вторая часть \(77 \cdot 7 = 539\). Проверяем: \(154 + 539 = 693\). Значит, число разбито верно.

3. Отношение здесь \(2 : 5\). Сумма частей \(2 + 5 = 7\). Делим 693 на 7: \(693 : 7 = 99\) — размер одной части. Умножаем: \(99 \cdot 2 = 198\), \(99 \cdot 5 = 495\). Проверка: \(198 + 495 = 693\). Всё верно.

4. Отношение \(4 : 7\). Сумма частей \(4 + 7 = 11\). Делим 693 на 11: \(693 : 11 = 63\). Первая часть: \(63 \cdot 4 = 252\), вторая: \(63 \cdot 7 = 441\). Проверка: \(252 + 441 = 693\).

5. Отношение \(34 : 43\). Сумма частей \(34 + 43 = 77\). Делим 693 на 77: \(693 : 77 = 9\). Умножаем: \(9 \cdot 34 = 306\), \(9 \cdot 43 = 387\). Проверка: \(306 + 387 = 693\).

6. Отношение \(2 : 3\). Сумма частей \(2 + 3 = 5\). Делим 693 на 5: \(693 : 5 = 138{,}6\). Первая часть: \(138{,}6 \cdot 2 = 277{,}2\), вторая: \(138{,}6 \cdot 3 = 415{,}8\). Проверка: \(277{,}2 + 415{,}8 = 693\).

2) Площадь участка вычисляется как квадрат длины стороны: \(24^2 = 576 \, м^2\). Это основа для дальнейших расчетов.

Площадь дома — произведение длины на ширину: \(9 \cdot 6 = 54 \, м^2\). Площадь гаража — тоже произведение: \(6 \cdot 3 = 18 \, м^2\). Площадь огорода — произведение длины на ширину: \(24 \cdot 6 = 144 \, м^2\).

а) Чтобы найти, какую часть площади участка занимает дом, делим площадь дома на площадь участка: \(\frac{54}{576} = \frac{3}{32}\). Это означает, что дом занимает \(\frac{3}{32}\) часть всего участка.

б) Чтобы узнать, во сколько раз площадь гаража меньше площади дома, делим площадь дома на площадь гаража: \(\frac{54}{18} = 3\). Значит, площадь гаража в 3 раза меньше площади дома.

в) Отношение площади дома к огороду: \(\frac{54}{144} = \frac{3}{8}\). Это показывает, что площадь дома составляет \(\frac{3}{8}\) часть площади огорода. Обратное отношение — площадь огорода к дому: \(\frac{144}{54} = \frac{8}{3} = 2 \frac{2}{3}\), то есть огород больше дома в 2 целых и \(\frac{2}{3}\) раза.

г) Для вычисления площади парника, который занимает часть огорода в отношении \(1 : 5\), суммируем части: \(1 + 5 = 6\). Делим площадь огорода на 6: \(144 : 6 = 24 \, м^2\). Это площадь одной части, соответствующая парнику.

Ответы:
а) дом занимает \(\frac{3}{32}\) часть площади участка;
б) гараж в 3 раза меньше дома;
в) дом занимает \(\frac{3}{8}\) часть огорода;
г) площадь парника равна \(24 \, м^2\).