ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Применяем математику Параграф 2 Номер 13 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Известному писателю Л. Н. Толстому очень нравилась следующая задача.
Артели косцов надо было скосить два луга, один вдвое больше другого. Половину дня артель косила большой луг. После этого артель разделилась пополам: первая половина осталась на большом лугу и докосила его к вечеру до конца; вторая же половина косила малый луг, на котором к вечеру ещё остался участок, скошенный на другой день косцом за один день работы. Сколько косцов было в артели?

Пусть в артели было \(x\) косцов, каждый косит площадь \(y\) за день.

За первую половину дня все косцы скосили площадь \(x \cdot y \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} xy\) — это часть большего луга.

Во вторую половину дня работала половина косцов, они скосили площадь \(\frac{1}{2} x \cdot y \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} xy\), добавляя к площади большего луга.

Итого площадь большего луга равна \(\frac{1}{2} xy + \frac{1}{4} xy = \frac{3}{4} xy\).

Меньший луг косил один косец весь день — площадь \(y\), плюс во вторую половину дня половина артели скосила \(\frac{1}{4} xy\).

Площадь меньшего луга равна \(y + \frac{1}{4} xy\).

По условию площадь большего луга в 2 раза больше меньшего, значит

\(2 \left(y + \frac{1}{4} xy\right) = \frac{3}{4} xy\).

Раскрываем скобки:

\(2y + \frac{1}{2} xy = \frac{3}{4} xy\).

Переносим слагаемые:

\(\frac{3}{4} xy — \frac{1}{2} xy = 2y\).

Вычисляем разность:

\(\frac{1}{4} xy = 2y\).

Делим на \(y\):

\(\frac{1}{4} x = 2\).

Умножаем на 4:

\(x = 8\).

Ответ: 8 косцов.

1. Пусть в артели было \(x\) косцов, каждый из которых за один день способен скосить участок площади \(y\). Это означает, что производительность одного косца за полный рабочий день равна \(y\). За первую половину дня все \(x\) косцов работали вместе, то есть каждый косец косил половину своего дневного объёма, а вместе они скосили площадь, равную произведению количества косцов, их производительности и времени работы: \(x \cdot y \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} xy\). Эта площадь соответствует части большего луга, которую они успели скосить за первую половину дня.

2. Во второй половине дня в артели работала только половина косцов, то есть \(\frac{1}{2} x\). Каждый из них также косил участок за половину дня, поэтому площадь, которую они скосили во второй половине дня, равна произведению половины числа косцов, их производительности и времени работы: \(\frac{1}{2} x \cdot y \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} xy\). Эта площадь также относится к большему лугу, поскольку во второй половине дня косили именно его часть. Следовательно, общая площадь большего луга равна сумме площади, скошенной в первую половину дня, и площади, скошенной во вторую половину дня: \(\frac{1}{2} xy + \frac{1}{4} xy = \frac{3}{4} xy\).

3. Меньший луг косил один косец весь день, что даёт площадь, равную \(y\), так как это производительность одного косца за полный день. Кроме того, во второй половине дня половина артели косила площадь \(\frac{1}{4} xy\), которая относится к меньшему лугу. Следовательно, площадь меньшего луга равна сумме этих двух частей: площади, скошенной одним косцом за весь день, и площади, скошенной половиной артели во вторую половину дня, то есть \(\frac{1}{4} xy + y\).

4. Согласно условию задачи, площадь большего луга в 2 раза больше площади меньшего луга. Это можно записать уравнением: \(2 \cdot \left(\frac{1}{4} xy + y\right) = \frac{3}{4} xy\). Здесь левая часть — удвоенная площадь меньшего луга, правая — площадь большего луга. Раскроем скобки в левой части: \(2 \cdot \frac{1}{4} xy + 2y = \frac{3}{4} xy\), что даёт \(\frac{2}{4} xy + 2y = \frac{3}{4} xy\).

5. Переносим слагаемые, содержащие \(xy\), с левой части уравнения на правую, чтобы сгруппировать их: \(\frac{3}{4} xy — \frac{2}{4} xy = 2y\). Вычитаем дроби с одинаковыми знаменателями: \(\frac{1}{4} xy = 2y\). Делим обе части уравнения на \(y\), учитывая, что \(y \neq 0\), получаем \(\frac{1}{4} x = 2\). Умножаем обе части на 4, чтобы найти \(x\): \(x = 8\).

Ответ: в артели было 8 косцов.