ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 3.63 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Найдите, зависимость между какими величинами прямо пропорциональная, обратно пропорциональная, а между какими не является пропорциональной:
а) время движения поезда и пройденный за это время путь при постоянной скорости;
б) количество одинакового товара и его стоимость;
в) число рабочих одинаковой квалификации и время выполнения определённой работы;
г) масса деревянного бруска и его длина;
д) время работы снегоуборочной техники и число единиц одинаковой техники;
е) цена товара и его количество при определённой сумме покупки;
ж) возраст человека и его рост;
з) площадь квадрата и длина его стороны;
и) высота прямоугольного параллелепипеда и его объём при постоянной площади основания;
к) урожайность зерна с 1 га и масса зерна при постоянной площади посева;
л) множители при данном произведении;
м) делимое и делитель при данном частном.

а) Время \(t\) и путь \(S\) связаны как \(S = v \cdot t\), прямо пропорциональны.

б) Количество \(n\) и стоимость \(C\) связаны как \(C = p \cdot n\), прямо пропорциональны.

в) Число рабочих \(N\) и время \(T\) связаны обратно пропорционально: \(T = \frac{k}{N}\).

г) Масса \(m\) и длина \(l\) при постоянном сечении связаны как \(m = \rho A l\), прямо пропорциональны.

д) Время работы \(t\) и число техники \(N\) связаны обратно пропорционально: \(t = \frac{k}{N}\).

е) Цена \(p\) и количество \(n\) при фиксированной сумме \(S\) связаны обратно пропорционально: \(p = \frac{S}{n}\).

ж) Возраст и рост не связаны пропорционально.

з) Площадь квадрата \(S\) и сторона \(a\) связаны как \(S = a^2\), не пропорциональны.

и) Высота \(h\) и объём \(V\) при постоянной площади основания связаны как \(V = S_{осн} \cdot h\), прямо пропорциональны.

к) Урожайность \(Y\) и масса зерна \(M\) при постоянной площади связаны как \(M = Y \cdot S\), прямо пропорциональны.

л) Множители \(x\) и \(y\) при данном произведении связаны обратно пропорционально: \(y = \frac{k}{x}\).

м) Делимое \(a\) и делитель \(b\) при данном частном связаны прямо пропорционально: \(a = q \cdot b\).

а) Время \(t\) и путь \(S\) связаны как \(S = v \cdot t\), что является классическим примером прямой пропорциональности. Это означает, что при условии постоянной скорости \(v\), отношение пройденного пути ко времени движения является постоянной величиной, то есть \(\frac{S}{t} = v\).

Скорость \(v\) выступает здесь в роли коэффициента пропорциональности. В физическом смысле, если объект движется с постоянной скоростью, то любое увеличение времени движения \(t\) приведет к строго пропорциональному увеличению пройденного расстояния \(S\). Например, если время движения удваивается, то и пройденный путь удваивается, что является определяющим свойством прямой пропорциональности.

Графически эта зависимость представляется прямой линией, проходящей через начало координат \((0, 0)\) на плоскости \((t, S)\). Это линейная функция, которая имеет смысл только для неотрицательных значений времени и пути, то есть \(t \ge 0\) и \(S \ge 0\). Условием сохранения этой пропорциональности является строгое постоянство скорости \(v\), что в реальных условиях движения может быть идеализацией.

б) Количество \(n\) товара и его общая стоимость \(C\) связаны формулой \(C = p \cdot n\), что также демонстрирует прямую пропорциональность. Общая стоимость прямо пропорциональна количеству, если цена за единицу товара \(p\) остается неизменной.

Цена \(p\) является коэффициентом пропорциональности. Если цена фиксирована, то покупатель, приобретая в три раза больше единиц товара \(n\), должен заплатить в три раза большую общую стоимость \(C\). Это соотношение фундаментально для базовых экономических расчетов, где предполагается, что нет скидок за оптовые закупки или дополнительных сборов, которые могли бы изменить цену \(p\).

Соотношение \(\frac{C}{n} = p\) подчеркивает, что отношение общей стоимости к количеству всегда равно постоянной цене за единицу. Графиком этой зависимости является луч, исходящий из начала координат, где угол наклона этого луча относительно оси количества \(n\) равен единичной цене \(p\).

в) Число рабочих \(N\) и время \(T\), необходимое для выполнения определенной работы, связаны обратно пропорционально: \(T = \frac{k}{N}\). Это соотношение описывает ситуацию, когда общий объем работы \(k\) является константой.

Константа \(k\) в этом случае представляет собой общий объем работы, выраженный в единицах «рабочих-времени» (например, человеко-часах), необходимых для выполнения всей задачи. Обратная пропорциональность означает, что если число рабочих \(N\) увеличивается, то время \(T\) выполнения работы уменьшается, причем их произведение \(T \cdot N\) всегда равно константе \(k\). Удвоение числа рабочих теоретически должно сократить время выполнения работы вдвое.

Графически зависимость \(T\) от \(N\) изображается ветвью гиперболы в первой четверти координатной плоскости, поскольку и время, и число рабочих должны быть положительными. Важным допущением, при котором эта пропорциональность строго выполняется, является предположение о равной эффективности всех рабочих и отсутствии потерь времени на координацию или управление.

г) Масса \(m\) и длина \(l\) однородного стержня или провода при постоянном сечении \(A\) связаны прямо пропорционально формулой \(m = (\rho A) l\). Здесь \(\rho\) — это плотность материала, а \(A\) — площадь поперечного сечения.

Коэффициентом пропорциональности является произведение плотности на площадь сечения, \(k = \rho A\). Этот коэффициент представляет собой линейную плотность материала, то есть массу, приходящуюся на единицу длины. При условии постоянства материала (\(\rho\)) и формы (\(A\)), масса \(m\) будет расти строго линейно с увеличением длины \(l\).

Если мы возьмем кусок провода в пять раз длиннее, чем исходный, его масса будет ровно в пять раз больше. Это соотношение является линейным, и его график представляет собой прямую, проходящую через начало координат. Условие применимости — однородность материала и постоянство поперечного сечения по всей длине.

д) Время работы \(t\) и число техники \(N\) (например, тракторов или экскаваторов) связаны обратно пропорционально: \(t = \frac{k}{N}\). Это аналогично случаю с числом рабочих и временем, где общий объем работы, выраженный в машино-часах, фиксирован.

Константа \(k\) представляет собой общее количество машино-часов, необходимых для выполнения задачи. Если количество техники \(N\) увеличивается, то время \(t\) для завершения работы уменьшается. Например, использование десяти единиц техники вместо одной сокращает время работы в десять раз, при условии, что они работают с одинаковой производительностью.

Произведение \(t \cdot N\) всегда остается постоянным и равным \(k\). График этой зависимости, как и в случае обратной пропорциональности, представляет собой гиперболу. На практике эта идеальная пропорциональность может нарушаться из-за логистических ограничений, ограниченного пространства для работы или различий в производительности машин.

е) Цена \(p\) за единицу товара и количество \(n\), которое можно приобрести на фиксированную сумму \(S\), связаны обратно пропорционально: \(p = \frac{S}{n}\). Это соотношение отражает закон спроса и предложения в условиях фиксированного бюджета.

Фиксированная сумма \(S\) (бюджет) является константой пропорциональности. Это означает, что если цена \(p\) на товар возрастает, то количество \(n\), которое может быть куплено на ту же сумму \(S\), должно уменьшиться. И наоборот, если цена снижается, количество увеличивается.

Произведение \(p \cdot n\) всегда равно константе \(S\). Эта зависимость графически изображается ветвью гиперболы. Она показывает, что для поддержания постоянной общей стоимости, любое изменение одного множителя должно быть компенсировано обратным изменением другого.

ж) Возраст и рост человека не связаны пропорционально. Прямая пропорциональность подразумевает, что отношение роста \(H\) к возрасту \(A\), \(\frac{H}{A}\), является постоянной величиной, что не соответствует биологическим законам развития.

Рост человека характеризуется нелинейным процессом. Существуют периоды интенсивного роста (например, в младенчестве и подростковом возрасте) и периоды, когда рост практически прекращается (во взрослом возрасте). Если бы пропорциональность существовала, то, например, человек в 40 лет был бы в два раза выше, чем в 20 лет, что явно не соответствует действительности.

Математически зависимость роста от возраста описывается сложной функцией, часто имеющей S-образную (сигмоидальную) форму, а не линейной функцией \(H = k \cdot A\). После достижения зрелости, для большого диапазона возрастов \(A\), рост \(H\) остается практически постоянным, что полностью исключает любую форму пропорциональности.

з) Площадь квадрата \(S\) и длина его стороны \(a\) связаны формулой \(S = a^2\). Это квадратичная зависимость, которая не является пропорциональной.

Для прямой пропорциональности необходимо, чтобы отношение \(\frac{S}{a}\) было константой. Однако в данном случае \(\frac{S}{a} = \frac{a^2}{a} = a\). Поскольку это отношение зависит от переменной \(a\), а не является фиксированным числом, пропорциональность отсутствует.

Увеличение стороны квадрата в два раза приводит к увеличению его площади в \((2)^2 = 4\) раза. Графически эта зависимость изображается параболой, а не прямой линией. Квадратичные зависимости характерны для площадей, в то время как пропорциональные зависимости характерны для одномерных или линейных величин.

и) Высота \(h\) и объём \(V\) цилиндра или призмы при условии постоянной площади основания \(S_{осн}\) связаны прямо пропорционально: \(V = S_{осн} \cdot h\).

Площадь основания \(S_{осн}\) выступает в роли константы пропорциональности. Это означает, что если мы увеличим высоту \(h\) емкости с фиксированным дном в любое количество раз, ее объем \(V\) увеличится ровно в то же количество раз. Отношение \(\frac{V}{h}\) всегда равно постоянной площади основания \(S_{осн}\).

Эта зависимость является линейной. Она применяется в геометрии и в расчетах объемов жидкостей или сыпучих материалов в сосудах с постоянным сечением. Графически, при построении зависимости объема \(V\) от высоты \(h\), мы получим прямую линию, проходящую через начало координат, с углом наклона, равным \(S_{осн}\).

к) Урожайность \(Y\) (масса зерна с единицы площади) и общая масса зерна \(M\) при постоянной площади поля \(S\) связаны прямо пропорционально: \(M = Y \cdot S\).

Константой пропорциональности является фиксированная площадь поля \(S\). Это соотношение показывает, что если агрономические методы позволяют увеличить урожайность \(Y\) (например, в 1,5 раза), то и общая собранная масса \(M\) увеличится ровно в 1,5 раза, при условии, что площадь \(S\) не меняется.

Отношение \(\frac{M}{Y}\) всегда равно константе \(S\). Это ключевая зависимость для планирования в сельском хозяйстве, позволяющая оценить потенциальный урожай на основе данных о продуктивности почвы и посевов. Зависимость является линейной, и ее график — прямая линия, проходящая через начало координат.

л) Множители \(x\) и \(y\) при фиксированном произведении \(k\) связаны обратно пропорционально: \(y = \frac{k}{x}\). Условием является то, что \(x \cdot y = k\), где \(k\) — константа.

Константа \(k\) представляет собой фиксированное произведение. Это означает, что если один множитель \(x\) увеличивается, другой множитель \(y\) должен уменьшаться таким образом, чтобы их произведение оставалось неизменным. Например, если \(k=50\), и \(x\) увеличивается в пять раз (с 2 до 10), то \(y\) должен уменьшиться в пять раз (с 25 до 5).

Графически эта зависимость является гиперболой. Она демонстрирует, что в системах, где результат взаимодействия двух переменных фиксирован, эти переменные должны находиться в обратной зависимости друг от друга. Это характерно для многих физических законов, таких как закон Бойля-Мариотта для идеального газа (\(P \cdot V = const\)).

м) Делимое \(a\) и делитель \(b\) при данном (постоянном) частном \(q\) связаны прямо пропорционально: \(a = q \cdot b\). Это прямо следует из определения деления, где \(q = \frac{a}{b}\).

Постоянное частное \(q\) выступает в роли коэффициента пропорциональности. Если мы хотим сохранить результат деления \(q\) неизменным, то любое изменение делителя \(b\) должно сопровождаться точно таким же пропорциональным изменением делимого \(a\). Например, если \(q=7\), и мы удваиваем делитель \(b\) (с 3 до 6), то делимое \(a\) также должно удвоиться (с 21 до 42).

Отношение \(\frac{a}{b}\) всегда равно константе \(q\). Эта зависимость является линейной и графически изображается прямой линией, проходящей через начало координат. Она описывает, как масштабируются компоненты деления, когда результат этого деления фиксирован.