ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 3.42 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Найдите неизвестный член пропорции:
а) \(t : 4\frac{2}{5} = 26,1 : 63,6\);
б) \(4\frac{1}{2} : 2 = 3\frac{1}{4} : t\);
в) \(y : 2,25 = y : 3,5\);
г) \(2\frac{5}{7} : x = \frac{20}{21} : 7\).

1) Решаем пропорцию \( t : 42{,}4 = 26{,}1 : 63{,}6 \).

Перемножаем крест-накрест: \( t \cdot 63{,}6 = 42{,}4 \cdot 26{,}1 \).

Находим \( t = \frac{42{,}4 \cdot 26{,}1}{63{,}6} = \frac{424 \cdot 261}{6360} = \frac{8 \cdot 53 \cdot 3 \cdot 87}{8 \cdot 3 \cdot 265} = \frac{4611}{265} = 17 \frac{106}{265} = 17{,}4 \).

2) Решаем пропорцию \( 4 \frac{1}{2} : 2 \frac{2}{5} = 3 \frac{1}{4} : t \).

Перемножаем крест-накрест: \( 4 \frac{1}{2} \cdot t = 2 \frac{2}{5} \cdot 3 \frac{1}{4} \).

Выражаем \( t = \frac{2 \frac{2}{5} \cdot 3 \frac{1}{4}}{4 \frac{1}{2}} = \frac{\frac{12}{5} \cdot \frac{13}{4}}{\frac{9}{2}} = \frac{12 \cdot 13}{5 \cdot 4} \cdot \frac{2}{9} = \frac{3 \cdot 4 \cdot 13 \cdot 2}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{26}{15} = 1 \frac{11}{15} \).

3) Решаем пропорцию \( 4{,}5 : 2{,}25 = y : 3{,}5 \).

Перемножаем крест-накрест: \( 4{,}5 \cdot 3{,}5 = 2{,}25 \cdot y \).

Находим \( y = \frac{4{,}5 \cdot 3{,}5}{2{,}25} = \frac{45 \cdot 35}{225} = \frac{5 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 7}{5 \cdot 5 \cdot 9} = 7 \).

4) Решаем пропорцию \( \frac{25}{6} : x = \frac{20}{21} : \frac{4}{7} \).

Перемножаем крест-накрест: \( \frac{25}{6} \cdot \frac{4}{7} = x \cdot \frac{20}{21} \).

Находим \( x = \frac{\frac{25}{6} \cdot \frac{4}{7}}{\frac{20}{21}} = \frac{25 \cdot 4}{6 \cdot 7} \cdot \frac{21}{20} = \frac{50}{21} \cdot \frac{21}{20} = \frac{50}{20} = \frac{5}{2} = 2{,}5 \).

1) Рассмотрим пропорцию \( t : 42{,}4 = 26{,}1 : 63{,}6 \). По определению пропорции произведение крайних членов равно произведению средних. Это значит, что \( t \) умноженное на \( 63{,}6 \) равно произведению \( 42{,}4 \) и \( 26{,}1 \). Запишем это уравнение: \( t \cdot 63{,}6 = 42{,}4 \cdot 26{,}1 \). Теперь нужно найти \( t \), для этого разделим правую часть уравнения на \( 63{,}6 \), получим \( t = \frac{42{,}4 \cdot 26{,}1}{63{,}6} \).

Выполним умножение чисел в числителе: \( 42{,}4 \cdot 26{,}1 \). Чтобы удобнее считать, умножим без запятой: \( 424 \cdot 261 = 110{,}664 \). Далее делим это на \( 636 \) (так как \( 63{,}6 = 636 / 10 \), делим на \( 63{,}6 \), то есть на \( 636 / 10 \), что равносильно умножению на 10 и делению на 636). Получаем \( t = \frac{110{,}664}{63{,}6} = 17{,}4 \). Таким образом, искомое значение \( t \) равно \( 17{,}4 \).

Этот результат показывает, что если отношение \( t \) к \( 42{,}4 \) такое же, как отношение \( 26{,}1 \) к \( 63{,}6 \), то \( t \) примерно равно \( 17{,}4 \). То есть пропорция сохраняется при этом значении.

2) Рассмотрим пропорцию \( 4 \frac{1}{2} : 2 \frac{2}{5} = 3 \frac{1}{4} : t \). Для удобства переведём смешанные числа в неправильные дроби. \( 4 \frac{1}{2} = \frac{9}{2} \), \( 2 \frac{2}{5} = \frac{12}{5} \), \( 3 \frac{1}{4} = \frac{13}{4} \). Тогда пропорция принимает вид \( \frac{9}{2} : \frac{12}{5} = \frac{13}{4} : t \).

По свойству пропорции произведение крайних равно произведению средних, значит \( \frac{9}{2} \cdot t = \frac{12}{5} \cdot \frac{13}{4} \). Чтобы найти \( t \), выразим его: \( t = \frac{\frac{12}{5} \cdot \frac{13}{4}}{\frac{9}{2}} \). Умножим числители и знаменатели: числитель \( 12 \cdot 13 = 156 \), знаменатель \( 5 \cdot 4 = 20 \), то есть \( \frac{156}{20} \). Делим эту дробь на \( \frac{9}{2} \), что эквивалентно умножению на обратную: \( \frac{156}{20} \cdot \frac{2}{9} \).

Упростим выражение: \( \frac{156 \cdot 2}{20 \cdot 9} = \frac{312}{180} \). Сократим числитель и знаменатель на 12: \( \frac{312 \div 12}{180 \div 12} = \frac{26}{15} \). Это неправильная дробь, которую можно представить в виде смешанного числа: \( 1 \frac{11}{15} \). Таким образом, \( t = 1 \frac{11}{15} \).

Это означает, что для сохранения пропорции значение \( t \) должно быть равно \( 1 \frac{11}{15} \), то есть немного больше единицы.

3) Рассмотрим пропорцию \( 4{,}5 : 2{,}25 = y : 3{,}5 \). Для удобства переведём десятичные числа в дроби: \( 4{,}5 = \frac{9}{2} \), \( 2{,}25 = \frac{9}{4} \), \( 3{,}5 = \frac{7}{2} \). Тогда пропорция становится \( \frac{9}{2} : \frac{9}{4} = y : \frac{7}{2} \).

По свойству пропорции произведение крайних равно произведению средних, следовательно \( \frac{9}{2} \cdot \frac{7}{2} = \frac{9}{4} \cdot y \). Найдём \( y \), выразив его из уравнения: \( y = \frac{\frac{9}{2} \cdot \frac{7}{2}}{\frac{9}{4}} \).

Выполним умножение в числителе: \( \frac{9 \cdot 7}{2 \cdot 2} = \frac{63}{4} \). Делим это на \( \frac{9}{4} \), что эквивалентно умножению на обратную дробь: \( \frac{63}{4} \cdot \frac{4}{9} = \frac{63 \cdot 4}{4 \cdot 9} = \frac{63}{9} = 7 \).

Таким образом, \( y = 7 \). Это значит, что отношение \( y \) к \( 3{,}5 \) такое же, как отношение \( 4{,}5 \) к \( 2{,}25 \), если \( y = 7 \).

4) Рассмотрим пропорцию \( \frac{25}{6} : x = \frac{20}{21} : \frac{4}{7} \). По определению пропорции произведение крайних равно произведению средних, значит \( \frac{25}{6} \cdot \frac{4}{7} = x \cdot \frac{20}{21} \).

Выполним умножение в левой части: \( \frac{25 \cdot 4}{6 \cdot 7} = \frac{100}{42} \). Теперь выразим \( x \): \( x = \frac{\frac{100}{42}}{\frac{20}{21}} = \frac{100}{42} \cdot \frac{21}{20} \).

Упростим выражение: \( \frac{100 \cdot 21}{42 \cdot 20} = \frac{2100}{840} \). Сократим числитель и знаменатель на 420: \( \frac{2100 \div 420}{840 \div 420} = \frac{5}{2} \).

Таким образом, \( x = \frac{5}{2} = 2{,}5 \). Это значение \( x \) поддерживает равенство пропорции.