ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 3.141 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Некоторое число прибавили к числителю и вычли из знаменателя дроби \(\frac{31}{41}\). Найдите это число, если после сокращения получили дробь \(\frac{4}{5}\).

Пусть к числителю прибавили число \( x \), а из знаменателя вычли число \( x \).

Составим уравнение:
\(\frac{31 + x}{41 — x} = \frac{4}{5}\)

Домножим крест-накрест:
\(5 \cdot (31 + x) = 4 \cdot (41 — x)\)

Раскроем скобки:
\(155 + 5x = 164 — 4x\)

Перенесём все слагаемые с \( x \) в одну сторону, числа — в другую:
\(5x + 4x = 164 — 155\)

Сложим:
\(9x = 9\)

Найдём \( x \):
\(x = 1\) — такое число прибавили к числителю и вычли из знаменателя.

Ответ: число 1.

Пусть нам дано число, которое нужно прибавить к числителю исходной дроби и вычесть из знаменателя той же дроби. Обозначим это число через \( x \). Тогда, если исходная дробь была \(\frac{31}{41}\), после изменения числитель станет \(31 + x\), а знаменатель — \(41 — x\). Это важно, потому что мы должны понять, как изменится дробь при таких операциях с числителем и знаменателем.

Следующий шаг — составить уравнение, которое отражает условие, что после таких изменений и последующего сокращения дробь равна \(\frac{4}{5}\). Значит, новая дробь \(\frac{31 + x}{41 — x}\) должна быть равна \(\frac{4}{5}\). Записываем уравнение: \(\frac{31 + x}{41 — x} = \frac{4}{5}\). Это уравнение позволит нам найти значение \( x \), которое соответствует условию задачи.

Для решения уравнения используем метод крест-накрест. Домножим левую часть на знаменатель правой и правую часть на знаменатель левой, чтобы избавиться от дробей: \(5 \cdot (31 + x) = 4 \cdot (41 — x)\). Это преобразование упрощает уравнение и даёт нам возможность работать с обычными выражениями, а не с дробями.

Раскроем скобки в обеих частях уравнения. Левая часть: \(5 \cdot 31 = 155\), \(5 \cdot x = 5x\), итого \(155 + 5x\). Правая часть: \(4 \cdot 41 = 164\), \(4 \cdot (-x) = -4x\), итого \(164 — 4x\). Записываем уравнение с раскрытыми скобками: \(155 + 5x = 164 — 4x\).

Теперь перенесём все слагаемые, содержащие \( x \), в одну сторону уравнения, а числа — в другую. Для этого прибавим \(4x\) к обеим частям и вычтем 155 из обеих частей: \(5x + 4x = 164 — 155\). Получаем: \(9x = 9\). Это уравнение проще всего решать, так как левая часть — это сумма коэффициентов при \( x \), а правая — разность чисел.

Решаем уравнение \(9x = 9\) делением обеих частей на 9: \(x = \frac{9}{9} = 1\). Таким образом, число, которое прибавили к числителю и вычли из знаменателя, равно 1.
Итог: \(x = 1\) — это искомое число. Именно его прибавили к числителю и вычли из знаменателя исходной дроби, чтобы после сокращения получить дробь \(\frac{4}{5}\). Ответ: число 1.