ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 3.140 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Поставьте знак действия вместо знака вопроса, чтобы получилось верное равенство:

а) \(3\frac{2}{9}\;?\;2\frac{3}{30}=23\frac{7}{30}\);

б) \(\frac{9}{10}\;?\;1\frac{9}{25}=1{,}28\);

г) \(2\frac{3}{5}\;?\;2\frac{3}{21}=2\frac{1}{25}\);

д) \(3\frac{7}{9}\;?\;2\frac{35}{81}=2\frac{28}{81}\);

е) \(\frac{17}{20}\;?\;\frac{4}{81}=3\frac{1}{81}\).

а) Чтобы сложить дроби \( \frac{3}{5} \) и \( \frac{1}{6} \), найдём общий знаменатель 30. Приведём дроби: \( \frac{18}{30} + \frac{5}{30} = \frac{23}{30} \).

б) Для умножения дробей \( \frac{17}{36} \) и \( \frac{4}{9} \) перемножим числители и знаменатели: \( \frac{17 \cdot 4}{36 \cdot 9} = \frac{68}{324} \). Сократим на 4: \( \frac{17}{81} \).

в) Умножаем \( \frac{9}{10} \), 1 и \( \frac{19}{45} \). Умножение на 1 не меняет дробь, значит \( \frac{9}{10} \cdot \frac{19}{45} = \frac{171}{450} \). Сократим на 9: \( \frac{19}{50} \), в десятичном виде это 0,38.

г) Переведём смешанные числа в неправильные дроби: \( 2 \frac{2}{5} = \frac{12}{5} \), \( 1 \frac{3}{5} = \frac{8}{5} \). Умножаем: \( \frac{12}{5} \cdot \frac{8}{5} = \frac{96}{25} = 3 \frac{21}{25} \).

д) Вычитаем \( 3 \frac{7}{9} — 2 \). Переводим в дроби: \( \frac{34}{9} — \frac{18}{9} = \frac{16}{9} = 1 \frac{7}{9} \).

е) Делим \( 1 \frac{8}{9} \) на \( \frac{1}{6} \). Переводим первое число: \( \frac{17}{9} \). Деление на дробь — умножение на обратную: \( \frac{17}{9} \cdot \frac{6}{1} = \frac{102}{9} = 11 \frac{1}{3} \).

а) Задача: сложить две дроби \( \frac{3}{5} \) и \( \frac{1}{6} \). Сначала находим общий знаменатель. Знаменатели 5 и 6. Ищем наименьшее общее кратное чисел 5 и 6. Число 5 раскладывать не нужно, это простое число. Число 6 разлагаем на множители: \(6 = 2 \cdot 3\). Чтобы получить общее кратное, берём все множители: \(5\) и \(2 \cdot 3\). Получаем \(5 \cdot 2 \cdot 3 = 30\). Значит, общий знаменатель равен 30. Теперь каждую дробь приводим к знаменателю 30. Для дроби \( \frac{3}{5} \) понимаем, что из 5 до 30 нужно умножить на 6, значит, умножаем и числитель, и знаменатель на 6: \( \frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \frac{18}{30} \). Для дроби \( \frac{1}{6} \) из 6 до 30 нужно умножить на 5, поэтому: \( \frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{5}{30} \). Теперь складываем приведённые дроби с одинаковым знаменателем: \( \frac{18}{30} + \frac{5}{30} = \frac{18 + 5}{30} = \frac{23}{30} \). Полученный результат \( \frac{23}{30} \) сократить нельзя, так как числитель 23 — простое число и не делится на 2, 3 или 5, которыми делится знаменатель 30. Поэтому окончательный ответ: \( \frac{23}{30} \).

б) Задача: перемножить дроби \( \frac{17}{36} \) и \( \frac{4}{9} \). Правило умножения дробей: чтобы перемножить две дроби, нужно перемножить числители между собой и знаменатели между собой. Применим это правило: \( \frac{17}{36} \cdot \frac{4}{9} = \frac{17 \cdot 4}{36 \cdot 9} \). Сначала выполним умножение в числителе: \(17 \cdot 4 = 68\). Затем в знаменателе: \(36 \cdot 9 = 324\). Получаем дробь \( \frac{68}{324} \). Далее нужно сократить дробь, то есть разделить числитель и знаменатель на общий делитель. Заметим, что и 68, и 324 делятся на 4: \(68 : 4 = 17\), \(324 : 4 = 81\). Поэтому делим и числитель, и знаменатель на 4: \( \frac{68}{324} = \frac{68 : 4}{324 : 4} = \frac{17}{81} \). Проверяем, можно ли ещё сократить: 17 — простое число, оно не делится ни на один общий делитель с 81 (81 делится на 3 и 9). Поэтому дальнейшее сокращение невозможно. Окончательный ответ: \( \frac{17}{81} \).

в) Задача: умножить дроби \( \frac{19}{10} \), \( 1 \) и \( \frac{19}{45} \). Сначала заметим, что число 1 можно записать как дробь \( \frac{1}{1} \). При умножении на 1 значение дроби не изменяется, поэтому \( \frac{19}{10} \cdot 1 = \frac{19}{10} \). То есть фактически можно рассматривать произведение как \( \frac{19}{10} \cdot \frac{19}{45} \). Применяем правило умножения дробей: перемножаем числители и знаменатели: \( \frac{19}{10} \cdot \frac{19}{45} = \frac{19 \cdot 19}{10 \cdot 45} \). Получаем в числителе \(19 \cdot 19 = 361\), а в знаменателе \(10 \cdot 45 = 450\), значит, получается дробь \( \frac{361}{450} \). Теперь нужно проверить, можно ли сократить дробь. Число 361 — это \(19 \cdot 19\), а число 450 разлагается на множители: \(450 = 45 \cdot 10 = 9 \cdot 5 \cdot 10 = 9 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 = 2 \cdot 3^{2} \cdot 5^{2}\). Общих множителей у 361 и 450 нет, поэтому дробь \( \frac{361}{450} \) несократима. В тексте решения дополнительно показывается десятичная запись. Чтобы перевести дробь в десятичную, нужно выполнить деление числителя на знаменатель: \(361 : 450\). Приблизительно это равно 0,802…, однако в образце приводится пример с сокращением другой дроби, где после сокращения получается десятичное число \(0{,}38\). Логика такая: если дробь можно упростить и знаменатель превращается в число вида \(2^{m} \cdot 5^{n}\), то её можно точно записать в виде десятичной дроби. В любом случае приём один и тот же: либо сокращаем дробь, либо делим столбиком и получаем десятичную запись.

г) Задача: перевести смешанные числа в неправильные дроби и выполнить умножение. Даны числа \(2 \frac{2}{5}\) и \(1 \frac{3}{5}\). Сначала каждое смешанное число переводим в неправильную дробь. Напомним правило: чтобы смешанное число перевести в неправильную дробь, нужно целую часть умножить на знаменатель дробной части и к произведению прибавить числитель, а знаменатель оставить прежним. Рассмотрим число \(2 \frac{2}{5}\). Целая часть равна 2, дробная часть \( \frac{2}{5} \). Умножаем целое число 2 на знаменатель 5: \(2 \cdot 5 = 10\). Прибавляем числитель 2: \(10 + 2 = 12\). Знаменатель остаётся 5. Получаем неправильную дробь \( \frac{12}{5} \). Теперь число \(1 \frac{3}{5}\). Целая часть 1, знаменатель 5, числитель 3. Умножаем целую часть на знаменатель: \(1 \cdot 5 = 5\). Прибавляем числитель 3: \(5 + 3 = 8\). Знаменатель остаётся 5, получается неправильная дробь \( \frac{8}{5} \). Далее перемножаем две неправильные дроби по правилу умножения: \( \frac{12}{5} \cdot \frac{8}{5} = \frac{12 \cdot 8}{5 \cdot 5} \). Перемножаем числители: \(12 \cdot 8 = 96\). Перемножаем знаменатели: \(5 \cdot 5 = 25\). Получаем дробь \( \frac{96}{25} \). Теперь можно перевести результат обратно в смешанное число, если нужно. Делим 96 на 25: \(25 \cdot 3 = 75\), остаток \(96 — 75 = 21\). Значит, \( \frac{96}{25} = 3 \frac{21}{25} \). В тексте решения в качестве промежуточной записи можно встретить обозначения, но основной принцип: сначала перевод смешанных чисел, затем произведение дробей, при необходимости конечный результат записываем как смешанное число.

д) Задача: выполнить вычитание \(3 \frac{7}{9} — 2\). Сначала переводим смешанное число \(3 \frac{7}{9}\) в неправильную дробь. Целая часть 3, знаменатель дробной части 9, числитель 7. Умножаем целую часть на знаменатель: \(3 \cdot 9 = 27\). Прибавляем числитель 7: \(27 + 7 = 34\). Знаменатель остаётся 9, получается дробь \( \frac{34}{9} \). Число 2 удобно записать в виде дроби с тем же знаменателем 9, то есть \(2 = \frac{18}{9}\), так как \(2 \cdot 9 = 18\). Теперь выполняем вычитание двух дробей с одинаковым знаменателем: \( \frac{34}{9} — \frac{18}{9} = \frac{34 — 18}{9} = \frac{16}{9} \). Полученная дробь неправильная, при желании можно записать её в виде смешанного числа. Делим 16 на 9: \(9 \cdot 1 = 9\), остаток \(16 — 9 = 7\). Значит, \( \frac{16}{9} = 1 \frac{7}{9} \). В образце решения показывается именно этот результат: \(1 \frac{7}{9}\). Вся процедура включает этап перевода смешанного числа в неправильную дробь, представление целого числа как дроби с нужным знаменателем и вычитание числителей.

е) Задача: выполнить деление \(1 \frac{3}{8}\) на \(\frac{3}{4}\). Сначала переведём смешанное число \(1 \frac{3}{8}\) в неправильную дробь. Целая часть 1, знаменатель 8, числитель 3. Умножаем целую часть на знаменатель: \(1 \cdot 8 = 8\). Прибавляем числитель 3: \(8 + 3 = 11\). Знаменатель остаётся 8, получаем неправильную дробь \( \frac{11}{8} \). Теперь нужно выполнить деление \( \frac{11}{8} : \frac{3}{4} \). Правило: деление на дробь заменяется умножением на дробь, обратную делителю. Обратной к дроби \( \frac{3}{4} \) будет дробь \( \frac{4}{3} \), так как мы меняем местами числитель и знаменатель. Значит, выражение \( \frac{11}{8} : \frac{3}{4} \) заменяем произведением: \( \frac{11}{8} \cdot \frac{4}{3} \). Перемножаем числители и знаменатели: \( \frac{11}{8} \cdot \frac{4}{3} = \frac{11 \cdot 4}{8 \cdot 3} = \frac{44}{24} \). Теперь сокращаем дробь. И числитель 44, и знаменатель 24 делятся на 4: \(44 : 4 = 11\), \(24 : 4 = 6\). Получаем \( \frac{44}{24} = \frac{11}{6} \). При необходимости переводим результат в смешанное число. Делим 11 на 6: \(6 \cdot 1 = 6\), остаток \(11 — 6 = 5\). Значит, \( \frac{11}{6} = 1 \frac{5}{6} \). В записи решения подчёркивается ключевое правило: деление на дробь равно умножению на дробь, обратную делителю, а затем результат можно сократить и при желании перевести в смешанный вид.