ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 3.11 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Три токаря сделали несколько деталей. Первый сделал четверть всех деталей, второй треть всех деталей, третий оставшиеся. Во сколько раз третий токарь сделал больше деталей, чем первый? Какую часть составляют детали, сделанные вторым токарем, от деталей, сделанных третьим токарем?

1) Примем все детали за 1. Первый сделал \( \frac{1}{4} \), второй — \( \frac{1}{3} \). Тогда третий сделал: \(1-\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{3}\right)=1-\left(\frac{3}{12}+\frac{4}{12}\right)=1-\frac{7}{12}=\frac{5}{12}\).

2) Во сколько раз третий сделал больше, чем первый: \( \frac{\frac{5}{12}}{\frac{1}{4}}=\frac{5}{12}\cdot\frac{4}{1}=\frac{20}{12}=\frac{5}{3}=1\frac{2}{3}\) раза.

3) Какую часть от деталей третьего составляют детали второго: \( \frac{\frac{1}{3}}{\frac{5}{12}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{12}{5}=\frac{4}{5}\).

Ответ: в \(1\frac{2}{3}\) раза; \(\frac{4}{5}\) часть.

1) Примем весь объём деталей за единицу: это удобная нормировка, позволяющая сравнивать доли, выполненные каждым токарем. По условию первый токарь выполнил \( \frac{1}{4} \) всех деталей, второй — \( \frac{1}{3} \). Тогда доля, выполненная третьим, находится как остаток от единицы после вычитания вклада первых двух. Складываем доли первых двух: приводим к общему знаменателю 12, получаем \( \frac{1}{4}=\frac{3}{12} \) и \( \frac{1}{3}=\frac{4}{12} \). Сумма их вкладов равна \( \frac{3}{12}+\frac{4}{12}=\frac{7}{12} \). Следовательно, доля третьего токаря равна \( 1-\frac{7}{12}=\frac{12}{12}-\frac{7}{12}=\frac{5}{12} \). Это означает, что из всей работы на третьего приходится пять двенадцатых общего количества деталей.

2) Сравним продуктивность третьего и первого токарей: требуется выяснить, во сколько раз третий сделал больше деталей, чем первый. Для этого делим долю третьего на долю первого, так как отношение долей и есть искомое кратное. Запишем отношение: \( \frac{\frac{5}{12}}{\frac{1}{4}}=\frac{5}{12}\cdot\frac{4}{1} \). Перемножая числители и знаменатели, получаем \( \frac{20}{12} \). Сократим дробь на 4: \( \frac{20}{12}=\frac{5}{3} \). Представим как смешанное число для наглядности: \( \frac{5}{3}=1\frac{2}{3} \). Это означает, что третий токарь выполнил работы в \( 1\frac{2}{3} \) раза больше, чем первый, то есть на одну полную четвертую часть работ плюс еще две третьих от работы первого сверх его объема.

3) Теперь найдём, какую часть от деталей, сделанных третьим токарем, составляют детали, выполненные вторым. Здесь требуется отношение доли второго к доле третьего, то есть какая доля от работы третьего соответствует вкладу второго. Составим отношение: \( \frac{\frac{1}{3}}{\frac{5}{12}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{12}{5} \). Перемножим: \( \frac{12}{15} \). Сократим дробь на 3: \( \frac{12}{15}=\frac{4}{5} \). Интерпретация: объем работы второго составляет ровно \( \frac{4}{5} \) от того, что сделал третий; то есть если принять работу третьего за единицу, то работа второго равна четырем пятым этой единицы.

Ответ: в \( 1\frac{2}{3} \) раза; \( \frac{4}{5} \) часть.