ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 2.99 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

 Рассмотрите пары чисел: 9 и 13; 15 и 19; 24 и 35; 27 и 32.

а) Являются ли числа, представленные в каждой паре взаимно простыми?

б) Найдите наименьшее общее кратное чисел в каждой паре. Сделайте предположение.

а) Числа в паре взаимно простые, если их НОД равен 1.

Пары:
1) 9 и 13: НОД(9, 13) = 1 → взаимно простые.
2) 15 и 19: НОД(15, 19) = 1 → взаимно простые.
3) 24 и 35: НОД(24, 35) = 1 → взаимно простые.
4) 27 и 32: НОД(27, 32) = 1 → взаимно простые.

б) Наименьшее общее кратное (НОК) для взаимно простых чисел равно произведению этих чисел.

НОК:
1) 9 и 13: \(9 \times 13 = 117\)
2) 15 и 19: \(15 \times 19 = 285\)
3) 24 и 35: \(24 \times 35 = 840\)
4) 27 и 32: \(27 \times 32 = 864\)

Предположение: для взаимно простых чисел НОК равен произведению этих чисел.

1) Чтобы определить, являются ли числа в каждой паре взаимно простыми, нужно найти их наибольший общий делитель (НОД). Если НОД равен 1, значит числа не имеют общих делителей, кроме 1, и называются взаимно простыми. Для пары 9 и 13 делители 9 — это 1, 3, 9, а делители 13 — 1 и 13. Общих делителей, кроме 1, нет, значит НОД(9, 13) = 1, следовательно, они взаимно простые.

2) Аналогично для пары 15 и 19: делители 15 — 1, 3, 5, 15; делители 19 — 1 и 19. Общих делителей, кроме 1, нет, значит НОД(15, 19) = 1, они взаимно простые. Для 24 и 35: делители 24 включают 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24; делители 35 — 1, 5, 7, 35. Общих делителей, кроме 1, нет, значит НОД(24, 35) = 1, они взаимно простые. Для 27 и 32: делители 27 — 1, 3, 9, 27; делители 32 — 1, 2, 4, 8, 16, 32. Общих делителей, кроме 1, нет, значит НОД(27, 32) = 1, взаимно простые.

3) Наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел можно найти через их произведение и НОД по формуле \( \text{НОК}(a,b) = \frac{a \times b}{\text{НОД}(a,b)} \). Поскольку для всех пар НОД равен 1, то НОК будет равен просто произведению чисел. Для пары 9 и 13 НОК равен \( \frac{9 \times 13}{1} = 117 \), для 15 и 19 — \( \frac{15 \times 19}{1} = 285 \), для 24 и 35 — \( \frac{24 \times 35}{1} = 840 \), для 27 и 32 — \( \frac{27 \times 32}{1} = 864 \).

4) Таким образом, можно сделать обоснованное предположение, что если два числа взаимно просты, то их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел. Это связано с тем, что у них нет общих делителей, которые могли бы «сократить» произведение при вычислении НОК через НОД.

5) Итог: все представленные пары чисел взаимно простые, так как их НОД равен 1, и для каждой пары НОК равен произведению этих чисел. Это подтверждает общую теорему о взаимно простых числах и их наименьшем общем кратном.