ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 2.95 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Назовите разложение на простые множители наименьшего общего кратного чисел \(a\) и \(b\), если:

а) \(a=2\cdot7,\ b=7\cdot9\);

б) \(a=2\cdot3\cdot3\cdot3\cdot7,\ b=2\cdot3\cdot3\cdot11\).

а) Разложим числа на простые множители:
\(a = 2 \cdot 7\),
\(b = 7 \cdot 9 = 7 \cdot 3 \cdot 3\).

Наименьшее общее кратное (НОК) берётся с учётом всех простых множителей в максимальной степени:
\(НОК(a, b) = 2 \cdot 7 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 7 \cdot 9\).

б) Разложим числа на простые множители:
\(a = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7\),
\(b = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 11\).

Берём все простые множители с максимальными степенями:
\(НОК(a, b) = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 11\).

1) Рассмотрим числа \(a\) и \(b\) из первого примера. Число \(a\) уже разложено на простые множители и равно \(2 \cdot 7\). Число \(b\) задано как \(7 \cdot 9\), где \(9\) можно представить как \(3^2\), то есть \(b = 7 \cdot 3^2\). Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК), необходимо взять все простые множители из разложений \(a\) и \(b\) с максимальными степенями.

2) В разложении \(a\) простые множители — это \(2^1\) и \(7^1\). В разложении \(b\) — \(7^1\) и \(3^2\). Для НОК берём \(2^1\) (присутствует только в \(a\)), \(7^1\) (присутствует в обоих), и \(3^2\) (присутствует только в \(b\)). Таким образом,
\(НОК(a, b) = 2^1 \cdot 7^1 \cdot 3^2 = 2 \cdot 7 \cdot 9\).

3) Во втором примере числа \(a\) и \(b\) имеют более сложное разложение. \(a = 2 \cdot 3^3 \cdot 7\), что означает один множитель 2, три множителя 3 и один множитель 7. \(b = 2 \cdot 3^2 \cdot 11\), то есть один множитель 2, два множителя 3 и один множитель 11. Для нахождения НОК нужно взять каждый простой множитель с максимальной степенью из обоих чисел.

4) В данном случае берём \(2^1\), так как он есть в обоих числах, \(3^3\) — максимальная степень из \(3^3\) в \(a\) и \(3^2\) в \(b\), затем \(7^1\) из \(a\) и \(11^1\) из \(b\). Получаем:
\(НОК(a, b) = 2^1 \cdot 3^3 \cdot 7^1 \cdot 11^1\).

5) Итог: для вычисления наименьшего общего кратного необходимо взять все простые множители из разложений чисел с максимальными степенями, чтобы число было кратно обоим исходным числам, но при этом было минимально возможным. В первом примере это \(2 \cdot 7 \cdot 9\), во втором — \(2 \cdot 3^3 \cdot 7 \cdot 11\).