ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 2.9 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

а) Сколькими способами можно разложить на два множителя число: 20; 46; 77?

б) Какими могут быть размеры теплицы площадью 24 м\(^2\), если они выражены натуральными числами?

а) Краткое решение. Разложение числа на два множителя в натуральных числах соответствует парным делителям \(a\cdot b=n\) с \(a\le b\).

— Для \(20\): делители \(1,2,4,5,10,20\). Пары: \((1,20),(2,10),(4,5)\). Ответ: \(3\) способа.
— Для \(46\): простое разложение \(46=2\cdot 23\). Делители \(1,2,23,46\). Пары: \((1,46),(2,23)\). Ответ: \(2\) способа.
— Для \(77\): разложение \(77=7\cdot 11\). Делители \(1,7,11,77\). Пары: \((1,77),(7,11)\). Ответ: \(2\) способа.

б) Краткое решение. Площадь теплицы \(S=24\) м\(^2\), размеры натуральные \(a\cdot b=24\), \(a\le b\). Делители \(24\): \(1,2,3,4,6,8,12,24\). Пары размеров: \((1,24),(2,12),(3,8),(4,6)\).

а) Под «разложить число на два множителя» понимаем представления вида \(n=a\cdot b\) в натуральных числах с условием \(a\le b\), чтобы не считать одно и то же разложение дважды (поскольку \(a\cdot b=b\cdot a\)). Для определения числа таких разложений удобно выписать все делители числа и сгруппировать их в упорядоченные пары, произведение которых даёт исходное число. Это эквивалентно подсчёту пар делителей, так как каждый делитель \(a\) однозначно соответствует парному делителю \(b=\frac{n}{a}\). Далее рассмотрим каждое число отдельно, укажем его разложение на простые множители и получим все пары делителей.

Для \(20\): разложение на простые множители \(20=2^{2}\cdot 5^{1}\). Полный набор делителей равен \(1,2,4,5,10,20\). Сопоставляя парные делители, получаем пары \((1,20)\), \((2,10)\), \((4,5)\). Поскольку в каждой паре первый множитель не превышает второго, все три пары учитываются по одному разу. Следовательно, число способов разложить \(20\) на два натуральных множителя равно \(3\).

Для \(46\): разложение \(46=2^{1}\cdot 23^{1}\). Делители \(46\) равны \(1,2,23,46\). Формируем парные произведения: \((1,46)\) и \((2,23)\). Других делителей нет, поэтому других пар не возникает. Следовательно, число способов разложить \(46\) на два натуральных множителя равно \(2\).

Для \(77\): разложение \(77=7^{1}\cdot 11^{1}\). Делители \(77\) равны \(1,7,11,77\). Парные разложения: \((1,77)\) и \((7,11)\). Эти пары взаимно различны и исчерпывают все возможные варианты. Следовательно, число способов разложить \(77\) на два натуральных множителя равно \(2\).

б) Пусть площадь прямоугольной теплицы \(S=24\) м\(^2\). Если длины сторон выражены натуральными числами, то задачу сводим к нахождению всех пар натуральных чисел \((a,b)\) таких, что \(a\cdot b=24\) и \(a\le b\), чтобы не учитывать один и тот же прямоугольник дважды (перестановка сторон даёт ту же площадь и те же размеры в другом порядке). Разложим \(24\) на простые множители: \(24=2^{3}\cdot 3^{1}\). Все делители числа \(24\) равны \(1,2,3,4,6,8,12,24\). Сопоставим делители попарно, получая возможные размеры: \((1,24)\), \((2,12)\), \((3,8)\), \((4,6)\). Эти пары покрывают все варианты натуральных прямоугольных размеров, дающих площадь \(24\) м\(^2\), при этом каждая пара учитывается один раз из-за условия \(a\le b\).