ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 2.86 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Найдите наибольший общий делитель чисел:

а) 975 и 750; б) 572 и 440; в) 80, 140 и 56; г) 170, 306 и 255.

а) Разложим числа на простые множители:
\(975 = 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 13\),
\(750 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5\).

Общие множители: \(3; 5; 5\).
Для нахождения НОД перемножим общие множители:
НОД(975; 750) = \(3 \cdot 5 \cdot 5 = 75\).

б) Разложим числа на простые множители:
\(572 = 2 \cdot 2 \cdot 11 \cdot 13\),
\(440 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 11\).

Общие множители: \(2; 2; 11\).
Перемножим общие множители:
НОД(572; 440) = \(2 \cdot 2 \cdot 11 = 44\).

в) Разложим числа на простые множители:
\(80 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5\),
\(140 = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 7\),
\(56 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7\).

Общие множители: \(2; 2\).
Перемножим общие множители:
НОД(80; 140; 56) = \(2 \cdot 2 = 4\).

г) Разложим числа на простые множители:
\(170 = 2 \cdot 5 \cdot 17\),
\(306 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 17\),
\(255 = 3 \cdot 5 \cdot 17\).

Общий множитель: \(17\).
НОД(170; 306; 255) = \(17\).

1) Для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) чисел 975 и 750 сначала разложим каждое число на простые множители. Это позволит увидеть, какие простые числа входят в состав каждого из них и с какой степенью. Число 975 раскладывается на множители как \(3 \cdot 5^2 \cdot 13\), так как 975 делится на 3, затем на 5 дважды, и остается 13. Аналогично, число 750 раскладывается как \(2 \cdot 3 \cdot 5^3\), потому что 750 делится на 2, затем на 3, и на 5 трижды.

Во втором шаге выделим общие множители, присутствующие в обоих разложениях. Это числа 3 и 5, причем 5 входит в разложение с разной степенью: во втором числе в степени 3, а в первом — в степени 2. Для НОД берется минимальная степень каждого общего простого множителя, то есть для 5 — степень 2. Таким образом, общие множители это \(3\) и \(5^2\).

В итоге наибольший общий делитель равен произведению этих общих множителей: \(3 \cdot 5^2 = 3 \cdot 25 = 75\). Значит, НОД(975; 750) = \(75\).

2) Рассмотрим числа 572 и 440. Для нахождения НОД также разложим их на простые множители. Число 572 раскладывается как \(2^2 \cdot 11 \cdot 13\), так как 572 делится на 2 дважды, затем на 11 и 13. Число 440 раскладывается как \(2^3 \cdot 5 \cdot 11\), поскольку 440 делится на 2 трижды, затем на 5 и на 11.

Общие простые множители — это \(2\) и \(11\). Для степени двойки берем минимальную степень, которая равна 2 (так как во втором числе степень 3, а в первом — 2). Множитель 11 присутствует в обоих числах в первой степени. Множитель 5 и 13 не общие, поэтому не участвуют в НОД.

Перемножая общие множители с минимальными степенями, получаем: \(2^2 \cdot 11 = 4 \cdot 11 = 44\). Следовательно, НОД(572; 440) = \(44\).

3) Для чисел 80, 140 и 56 разложим каждое на простые множители. Число 80 раскладывается как \(2^4 \cdot 5\), число 140 — как \(2^2 \cdot 5 \cdot 7\), число 56 — как \(2^3 \cdot 7\). Теперь определим общие множители для всех трех чисел.

Общий множитель — это число 2, так как оно входит в разложение всех трех чисел. Для степени берём минимальную степень двойки среди всех чисел, это \(2^2\), так как 80 содержит \(2^4\), 140 — \(2^2\), а 56 — \(2^3\). Множитель 5 есть только у 80 и 140, но отсутствует у 56, а 7 есть у 140 и 56, но отсутствует у 80, поэтому они не учитываются.

Таким образом, НОД равен \(2^2 = 4\).

4) Для чисел 170, 306 и 255 разложим каждое на простые множители. Число 170 раскладывается как \(2 \cdot 5 \cdot 17\), число 306 — как \(2 \cdot 3^2 \cdot 17\), число 255 — как \(3 \cdot 5 \cdot 17\).

Общий множитель среди всех трех чисел — это число 17, так как оно присутствует в каждом разложении. Множители 2, 3 и 5 не входят во все три числа одновременно, поэтому не учитываются.

Следовательно, НОД(170; 306; 255) равен \(17\).