ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 2.85 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Развивай мышление. Представьте в виде суммы с наименьшим числом простых слагаемых (слагаемые могут повторяться) числа:

а) нечётные, большие 5, но меньшие 20; б) чётные, большие 2, но меньшие 20. Сформулируйте предположения о представлении чисел в виде суммы простых слагаемых.

а) Найдём общий набор простых множителей для \(a = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 19\) и \(b = 2 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 13\). Общие множители: \(2\) и \(3\). Значит,

\(НОД(a,b) = 2 \cdot 3 = 6.\)

б) Для \(a = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 11\) и \(b = 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7\) общие множители: \(3\), \(5\) и \(5\). Тогда

\(НОД(a,b) = 3 \cdot 5 \cdot 5 = 3 \cdot 25 = 75.\)

1) Рассмотрим числа \(a\) и \(b\) из первого пункта. Число \(a\) разложено на простые множители как \(2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 19\), а число \(b\) — как \(2 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 13\). Для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) нужно взять все простые множители, которые встречаются в разложениях обоих чисел, с наименьшими степенями. В данном случае общими простыми множителями являются \(2\) и \(3\). В \(a\) степень двойки равна 2, а в \(b\) — 1, значит берём \(2^1\). Аналогично для тройки: в \(a\) степень 2, в \(b\) — 1, значит берём \(3^1\).

2) Следовательно, НОД равен произведению общих простых множителей с минимальными степенями: \(2^1 \cdot 3^1 = 2 \cdot 3 = 6\). Остальные множители, такие как 5, 7, 19 в \(a\) и 11, 13 в \(b\), не встречаются в обоих числах, поэтому в НОД не входят. Таким образом, НОД отражает максимальное число, на которое делятся оба числа без остатка, и в данном случае это число равно 6.

3) Теперь рассмотрим второй пункт. Число \(a\) разложено как \(2 \cdot 3^2 \cdot 5^3 \cdot 11\), а число \(b\) — как \(3 \cdot 5^2 \cdot 7\). Общими простыми множителями являются 3 и 5. Для 3 в \(a\) степень равна 2, в \(b\) — 1, значит берём \(3^1\). Для 5 в \(a\) степень 3, в \(b\) — 2, значит берём \(5^2\). Другие множители не общие, поэтому не учитываются.

4) Таким образом, НОД равен произведению \(3^1 \cdot 5^2 = 3 \cdot 25 = 75\). Это число делит оба исходных числа без остатка и является наибольшим из таких. При вычислении НОД важно учитывать именно минимальные степени общих простых множителей, чтобы не выходить за пределы делимости каждого из чисел.

5) В итоге, для первого случая НОД равен 6, а для второго — 75, что подтверждается анализом разложений на простые множители и выбором общих с минимальными степенями. Такой подход универсален и позволяет найти НОД для любых натуральных чисел.