ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 2.78 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Сравните числа:
а) \(\frac{7}{12}\) и \(\frac{2}{9}\);
б) \(\frac{11}{23}\) и \(\frac{8}{25}\);
в) \(\frac{13}{8}\) и \(\frac{5}{9}\);
г) \(4\frac{1}{5}\) и \(3\frac{4}{7}\).

а) Знаменатели дробей \( \frac{7}{12} \) и \( \frac{2}{9} \) разные, найдём общий знаменатель \(36\).

Переводим дроби: \( \frac{7}{12} = \frac{21}{36} \), \( \frac{2}{9} = \frac{8}{36} \).

Так как \(21 > 8\), то \( \frac{7}{12} > \frac{2}{9} \).

б) Знаменатели дробей \( \frac{11}{23} \) и \( \frac{8}{25} \) разные, общий знаменатель \(575\).

Переводим дроби: \( \frac{11}{23} = \frac{275}{575} \), \( \frac{8}{25} = \frac{184}{575} \).

Так как \(275 > 184\), то \( \frac{11}{23} > \frac{8}{25} \).

в) Дроби \( \frac{13}{8} \) и \( \frac{5}{9} \), общий знаменатель \(72\).

Переводим: \( \frac{13}{8} = \frac{117}{72} \), \( \frac{5}{9} = \frac{40}{72} \).

Так как \(117 > 40\), то \( \frac{13}{8} > \frac{5}{9} \).

г) Сравниваем смешанные числа \( 4\frac{1}{5} \) и \( 3\frac{4}{7} \).

Целая часть первого числа \(4\) больше целой части второго \(3\), значит \( 4\frac{1}{5} > 3\frac{4}{7} \).

1) Для сравнения дробей \( \frac{7}{12} \) и \( \frac{2}{9} \) сначала необходимо привести их к общему знаменателю, поскольку сравнивать дроби с разными знаменателями напрямую нельзя. Наименьшее общее кратное чисел 12 и 9 — это 36. Чтобы привести дробь \( \frac{7}{12} \) к знаменателю 36, умножаем числитель и знаменатель на 3, получая \( \frac{7 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \frac{21}{36} \). Аналогично, для дроби \( \frac{2}{9} \) умножаем числитель и знаменатель на 4, получая \( \frac{2 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{8}{36} \).

Теперь, когда знаменатели дробей одинаковы, можно сравнивать только числители. Числитель первой дроби равен 21, а второй — 8. Поскольку 21 больше 8, то и дробь \( \frac{21}{36} \) больше \( \frac{8}{36} \), следовательно, \( \frac{7}{12} > \frac{2}{9} \). Таким образом, сравнение дробей свелось к сравнению целых чисел после приведения к общему знаменателю.

Этот метод универсален для сравнения любых дробей с разными знаменателями: находите наименьшее общее кратное знаменателей, приводите дроби к одному знаменателю, а затем сравниваете числители. Это позволяет точно определить, какая дробь больше, без приближений или округлений.

2) Рассмотрим дроби \( \frac{11}{23} \) и \( \frac{8}{25} \). Знаменатели 23 и 25 — взаимно простые числа, поэтому их наименьшее общее кратное равно произведению: \( 23 \times 25 = 575 \). Чтобы привести дробь \( \frac{11}{23} \) к знаменателю 575, умножаем числитель и знаменатель на 25, получаем \( \frac{11 \cdot 25}{23 \cdot 25} = \frac{275}{575} \). Для дроби \( \frac{8}{25} \) умножаем числитель и знаменатель на 23, получая \( \frac{8 \cdot 23}{25 \cdot 23} = \frac{184}{575} \).

Теперь, когда знаменатели одинаковы, сравниваем числители: 275 и 184. Число 275 больше, следовательно, \( \frac{275}{575} > \frac{184}{575} \), что означает \( \frac{11}{23} > \frac{8}{25} \). Такой способ позволяет безошибочно определить, какая дробь больше, даже если знаменатели большие и взаимно простые.

Важно понимать, что при сравнении дробей с большими знаменателями вычисления могут быть более громоздкими, но принцип остается тем же: находим общий знаменатель, приводим дроби к нему и сравниваем числители. Это гарантирует точность результата.

3) Для дробей \( \frac{13}{8} \) и \( \frac{5}{9} \) знаменатели 8 и 9. Наименьшее общее кратное этих чисел — 72. Приводим дроби к знаменателю 72: \( \frac{13}{8} = \frac{13 \cdot 9}{8 \cdot 9} = \frac{117}{72} \), \( \frac{5}{9} = \frac{5 \cdot 8}{9 \cdot 8} = \frac{40}{72} \).

Сравниваем числители 117 и 40. Поскольку 117 больше, то \( \frac{117}{72} > \frac{40}{72} \), значит \( \frac{13}{8} > \frac{5}{9} \). Такой способ сравнения дробей позволяет точно определить, какая дробь больше, без необходимости вычислять десятичные приближения.

Этот пример также показывает, что дробь с большим числителем при равных знаменателях всегда больше, что упрощает сравнение после приведения к общему знаменателю.

4) Для сравнения смешанных чисел \( 4 \frac{1}{5} \) и \( 3 \frac{4}{7} \) сначала сравним целые части. Целая часть первого числа — 4, второго — 3. Поскольку 4 больше 3, то без дополнительного сравнения дробных частей можно заключить, что \( 4 \frac{1}{5} > 3 \frac{4}{7} \).

Если бы целые части были равны, тогда необходимо было бы сравнивать дробные части. Для этого дроби \( \frac{1}{5} \) и \( \frac{4}{7} \) приводят к общему знаменателю 35: \( \frac{1}{5} = \frac{7}{35} \), \( \frac{4}{7} = \frac{20}{35} \). Тогда сравнивали бы числители 7 и 20. Но в данном случае это не нужно, так как целые части уже дают ответ.

Таким образом, сравнение смешанных чисел начинается с сравнения целых частей, а дробные части рассматриваются только при равенстве целых. Это упрощает процесс и позволяет быстро определить, какое число больше.