ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 2.75 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Существуют ли четыре таких различных простых числа, что произведение двух из них равно произведению двух других?

Так как любое составное число можно представить в виде простых множителей единственным способом, то не существует четырёх таких различных простых чисел \(p, q, r, s\), что произведение двух из них равно произведению двух других, то есть

\(p \cdot q = r \cdot s\),

при условии, что \(p, q, r, s\) — различные простые числа.

Это противоречит единственности разложения на простые множители.

1. Любое составное число можно разложить на простые множители единственным способом, если не учитывать порядок множителей. Это утверждение называется основной теоремой арифметики. Она гарантирует, что для числа \(N\) существует единственный набор простых чисел \(p_1, p_2, \ldots, p_k\) и соответствующих степеней \(a_1, a_2, \ldots, a_k\), таких что

\(N = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{a_k}\).

Это фундаментальное свойство простых чисел и факторизации.

2. Рассмотрим теперь утверждение о четырёх различных простых числах \(p, q, r, s\), для которых

\(p \cdot q = r \cdot s\).

Если такие числа существуют, то произведение двух простых чисел равно произведению двух других простых чисел, причём все четыре числа различны. Однако, поскольку простые числа по определению не имеют других делителей, кроме 1 и самих себя, разложение произведения \(p \cdot q\) на простые множители — это просто сами числа \(p\) и \(q\). Аналогично, произведение \(r \cdot s\) раскладывается на простые множители \(r\) и \(s\).

3. Из равенства \(p \cdot q = r \cdot s\) следует, что разложение левой части и правой части на простые множители совпадает. Но если \(p, q, r, s\) — все различны, то множители в левой и правой части не могут совпадать, а значит, единственность разложения нарушается. Это противоречит основной теореме арифметики. Следовательно, таких четырёх различных простых чисел не существует.