ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 2.74 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Разложение одного числа состоит из двух простых множителей, а другого — из трёх простых множителей. Могут ли эти числа быть равными?

Если разложение одного числа состоит из двух простых множителей, а другого — из трёх простых множителей, то эти числа не могут быть равны.

Пояснение: любое составное число имеет единственное разложение на простые множители с точностью до порядка множителей.

Например, число с разложением \(2 \cdot 3 = 6\) не равно числу с разложением \(2 \cdot 3 \cdot 5 = 30\), так как \(6 \neq 30\).

Следовательно, число с двумя простыми множителями не может равняться числу с тремя простыми множителями.

Если разложение одного числа состоит из двух простых множителей, а другого — из трёх простых множителей, то эти числа не могут быть равны. Это связано с тем, что любое составное число имеет единственное разложение на простые множители, которое называется основной теоремой арифметики. Эта теорема утверждает, что каждое натуральное число больше единицы можно представить в виде произведения простых чисел и только одним способом, если не учитывать порядок множителей.

Во-первых, рассмотрим число, которое раскладывается на два простых множителя, например, \(p \cdot q\), где \(p\) и \(q\) — простые числа. Такое число можно представить как произведение ровно двух простых множителей. Если возьмём другое число, которое раскладывается на три простых множителя, например, \(p \cdot q \cdot r\), где \(p, q, r\) — простые числа, то это число уже содержит дополнительный множитель \(r\). Поскольку разложение на простые множители единственно, нельзя получить равенство \(p \cdot q = p \cdot q \cdot r\), так как при умножении на дополнительный простой множитель значение числа увеличивается.

Во-вторых, на конкретном примере: число 6 раскладывается на \(2 \cdot 3\), а число 30 — на \(2 \cdot 3 \cdot 5\). Очевидно, что \(6 \neq 30\). Это показывает, что если у одного числа два простых множителя, а у другого — три, то они не могут быть равны. Таким образом, если разложение одного числа содержит меньше простых множителей, чем разложение другого, эти числа не равны.