ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 2.69 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

В спортивных соревнованиях приняли участие 108 мальчиков и 144 девочки. И мальчиков, и девочек разбили на группы с одинаковым количеством человек в каждой группе. Какое наибольшее количество человек могло быть в каждой группе? Сколько получилось групп мальчиков и групп девочек?

Разложим числа 108 и 144 на простые множители:
\(108 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3\),
\(144 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3\).

Найдем наибольший общий делитель (НОД) этих чисел, то есть наибольшее количество человек в каждой группе:
\(\text{НОД}(108; 144) = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 4 \cdot 9 = 36\).

Количество групп мальчиков:
\(\frac{108}{36} = 3\).

Количество групп девочек:
\(\frac{144}{36} = 4\).

Ответ: в каждой группе 36 человек, получилось 3 группы мальчиков и 4 группы девочек.

1) Чтобы найти наибольшее количество человек в каждой группе, необходимо определить наибольший общий делитель (НОД) чисел 108 и 144. Для этого сначала разложим каждое число на простые множители. Число 108 можно представить в виде произведения простых чисел: \(108 = 2^2 \cdot 3^3\), так как 108 делится на 2 два раза и на 3 три раза. Аналогично, число 144 раскладывается как \(144 = 2^4 \cdot 3^2\), потому что в нем четыре двойки и две тройки. Разложение на простые множители позволяет увидеть, какие множители встречаются в обоих числах и в каком количестве.

2) Для нахождения НОД нужно взять только те простые множители, которые встречаются в обоих числах, и выбрать минимальную степень каждого из них. В нашем случае общими множителями являются 2 и 3. В числе 108 степень двойки равна 2, а в числе 144 — 4, значит для НОД берем меньшую степень \(2^2\). Для тройки степень в 108 равна 3, а в 144 — 2, значит берем \(3^2\). Перемножая эти множители, получаем:
\(\text{НОД}(108; 144) = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36\).
Это означает, что максимальное количество человек в каждой группе — 36.

3) Теперь, чтобы узнать, сколько групп получилось из мальчиков и девочек, делим общее количество каждого пола на размер группы. Для мальчиков:
\(\frac{108}{36} = 3\) группы,
а для девочек:
\(\frac{144}{36} = 4\) группы.
Это значит, что мальчиков разбили на 3 равные группы по 36 человек, а девочек — на 4 равные группы по 36 человек. Таким образом, итоговый ответ: в каждой группе по 36 человек, всего 3 группы мальчиков и 4 группы девочек.