ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 2.67 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Найдите все правильные дроби, знаменатель которых равен 16, а числитель и знаменатель — взаимно простые числа.

Числитель \(x\) и знаменатель 16 должны быть взаимно простыми числами, то есть \(\gcd(x, 16) = 1\).

Числа, взаимно простые с 16 (которое разлагается на \(2^4\)), — это нечетные числа, не делящиеся на 2.

Из чисел от 1 до 15 подходят: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15.

Так как дробь должна быть правильной, то \(x < 16\), поэтому \(x \neq 16\). Ответ: правильные дроби имеют вид \( \frac{x}{16} \), где \(x = 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15\).

1. Рассмотрим дробь с знаменателем 16, то есть дробь вида \( \frac{x}{16} \), где \(x\) — числитель. Чтобы дробь была правильной, числитель должен быть меньше знаменателя, то есть \(x < 16\). Кроме того, условие требует, чтобы числитель \(x\) и знаменатель 16 были взаимно простыми числами. Взаимно простые числа — это такие числа, у которых наибольший общий делитель равен 1: \(\gcd(x, 16) = 1\). Это значит, что \(x\) не должен иметь общих делителей с 16, кроме 1. 2. Число 16 раскладывается на простые множители как \(16 = 2^4\). Значит, чтобы \(x\) и 16 были взаимно простыми, число \(x\) не должно содержать в своем разложении множитель 2. Иными словами, \(x\) не должно быть чётным числом. Все чётные числа имеют 2 в качестве делителя, а значит будут иметь общий делитель с 16, отличный от 1. Следовательно, \(x\) должно быть нечётным числом, то есть \(x\) принадлежит множеству нечётных чисел от 1 до 15. 3. Перечислим все нечётные числа, меньшие 16: это 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15. Проверим, что для каждого из них \(\gcd(x, 16) = 1\). Поскольку все они нечётные, общий делитель с \(2^4\) равен 1. Таким образом, все эти значения \(x\) подходят. Значит, правильные дроби с знаменателем 16, у которых числитель и знаменатель взаимно просты, имеют вид \( \frac{x}{16} \), где \(x = 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15\).