ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 2.63 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Найдите наибольший общий делитель чисел:
а) 45, 60 и 105; б) 162, 222 и 432; в) 108, 72 и 96; г) 240, 480 и 720.

а) Разложим числа на простые множители:
\(45 = 3 \cdot 3 \cdot 5\),
\(60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5\),
\(105 = 3 \cdot 5 \cdot 7\).
Общими простыми множителями являются \(3\) и \(5\),
поэтому \(НОД(45; 60; 105) = 3 \cdot 5 = 15\).

б) Разложим числа на простые множители:
\(162 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3\),
\(222 = 2 \cdot 3 \cdot 37\),
\(432 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3\).
Общие множители: \(2\) и \(3\),
поэтому \(НОД(162; 222; 432) = 2 \cdot 3 = 6\).

в) Разложим числа на простые множители:
\(108 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3\),
\(72 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3\),
\(96 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3\).
Общие множители: \(2 \cdot 2 \cdot 3 = 12\),
поэтому \(НОД(108; 72; 96) = 12\).

г) Разложим числа на множители с помощью общего множителя 240:
\(240 = 1 \cdot 240\),
\(480 = 2 \cdot 240\),
\(720 = 3 \cdot 240\).
Поэтому \(НОД(240; 480; 720) = 240\).

1) а) Для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) чисел 45, 60 и 105 сначала разложим каждое число на простые множители. Это означает, что каждое число представляется в виде произведения простых чисел, которые нельзя разложить дальше.
\(45 = 3^2 \cdot 5\), так как \(45 = 3 \cdot 3 \cdot 5\).
\(60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5\), так как \(60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5\).
\(105 = 3 \cdot 5 \cdot 7\).

Теперь смотрим, какие простые множители встречаются во всех трёх числах. Это числа 3 и 5. При этом степень числа 3 в каждом числе: в 45 — это \(3^2\), в 60 — \(3^1\), в 105 — \(3^1\). Мы берём минимальную степень, то есть \(3^1\). Аналогично для 5 степень в каждом числе равна \(5^1\). Множитель 2 и 7 не встречаются во всех трёх числах, поэтому не учитываем их.
Таким образом, НОД равен произведению общих простых множителей с минимальными степенями:
\(НОД(45; 60; 105) = 3^1 \cdot 5^1 = 15\).

2) б) Рассмотрим числа 162, 222 и 432. Разложим каждое на простые множители:
\(162 = 2 \cdot 3^4\), так как \(162 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3\).
\(222 = 2 \cdot 3 \cdot 37\), так как \(222 = 2 \cdot 3 \cdot 37\).
\(432 = 2^4 \cdot 3^3\), так как \(432 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3\).

Определяем общие множители. Во всех трёх числах присутствуют множители 2 и 3. При этом степень двойки в числах: в 162 — \(2^1\), в 222 — \(2^1\), в 432 — \(2^4\). Берём минимальную степень, то есть \(2^1\). Степень тройки: в 162 — \(3^4\), в 222 — \(3^1\), в 432 — \(3^3\). Минимальная степень — \(3^1\). Множитель 37 есть только в 222, поэтому не учитывается.
Итог:
\(НОД(162; 222; 432) = 2^1 \cdot 3^1 = 6\).

3) в) Для чисел 108, 72 и 96 разложим на простые множители:
\(108 = 2^2 \cdot 3^3\), так как \(108 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3\).
\(72 = 2^3 \cdot 3^2\), так как \(72 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3\).
\(96 = 2^5 \cdot 3\), так как \(96 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3\).

Общие множители — это 2 и 3. Минимальные степени: для двойки — \(2^2\) (так как в 108 степень 2, в 72 — 3, в 96 — 5, берём минимальную), для тройки — \(3^1\) (в 108 — 3, в 72 — 2, в 96 — 1).
Поэтому:
\(НОД(108; 72; 96) = 2^2 \cdot 3^1 = 4 \cdot 3 = 12\).

4) г) Рассмотрим числа 240, 480 и 720. Здесь удобно заметить, что 480 и 720 кратны 240:
\(240 = 1 \cdot 240\),
\(480 = 2 \cdot 240\),
\(720 = 3 \cdot 240\).

Так как 240 является делителем и 480, и 720, то наибольший общий делитель этих трёх чисел — это 240:
\(НОД(240; 480; 720) = 240\).