ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 2.62 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Найдите наибольший общий делитель числителя и знаменателя дроби:
а) \(\frac{324}{225}\); б) \(\frac{414}{575}\); в) \(\frac{432}{275}\); г) \(\frac{504}{825}\).

а) \(324 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3\), \(225 = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5\).
НОД \(\left(324; 225\right) = 3 \cdot 3 = 9\).

б) \(414 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 23\), \(575 = 5 \cdot 5 \cdot 23\).
НОД \(\left(414; 575\right) = 23\).

в) \(432 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3\), \(275 = 5 \cdot 5 \cdot 11\).
НОД \(\left(432; 275\right) = \emptyset = 1\).

г) \(504 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7\), \(825 = 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 11\).
НОД \(\left(504; 825\right) = 3\).

1) Рассмотрим числа \(324\) и \(225\). Для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) сначала разложим каждое число на простые множители.
\(324 = 2^2 \cdot 3^4\), так как \(324 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3\).
\(225 = 3^2 \cdot 5^2\), так как \(225 = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5\).

Чтобы найти НОД, нужно взять только те простые множители, которые есть в разложениях обоих чисел, и выбрать для каждого из них наименьшую степень. Общими множителями являются только \(3\), причем в \(324\) степень \(4\), а в \(225\) — степень \(2\). Значит, в НОД войдёт \(3^2 = 9\).
Таким образом, НОД \(\left(324; 225\right) = 3^2 = 9\).

2) Теперь рассмотрим числа \(414\) и \(575\). Разложим их на простые множители:
\(414 = 2 \cdot 3^2 \cdot 23\), так как \(414 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 23\).
\(575 = 5^2 \cdot 23\), так как \(575 = 5 \cdot 5 \cdot 23\).

Общие множители — это только \(23\), так как остальные множители не совпадают. Следовательно, НОД будет равен \(23\).
Итог: НОД \(\left(414; 575\right) = 23\).

3) Для чисел \(432\) и \(275\) разложим на простые множители:
\(432 = 2^4 \cdot 3^3\), так как \(432 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3\).
\(275 = 5^2 \cdot 11\), так как \(275 = 5 \cdot 5 \cdot 11\).

Общих множителей у этих чисел нет, так как множители \(2, 3\) и \(5, 11\) не пересекаются. Следовательно, НОД равен \(1\), то есть числа взаимно простые.
Таким образом, НОД \(\left(432; 275\right) = 1\).

4) Рассмотрим числа \(504\) и \(825\). Разложим их на простые множители:
\(504 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7\), так как \(504 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7\).
\(825 = 3 \cdot 5^2 \cdot 11\), так как \(825 = 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 11\).

Общий простой множитель — это \(3\), причем в \(504\) степень \(2\), а в \(825\) — степень \(1\). Значит, в НОД войдёт \(3^1 = 3\).
Итог: НОД \(\left(504; 825\right) = 3\).

Таким образом, для каждой пары чисел мы нашли НОД, взяв произведение общих простых множителей с наименьшими степенями.