ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 2.61 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Найдите наибольший общий делитель чисел:
а) 21 и 84; б) 27 и 81; в) 32 и 96; г) 75 и 300.

а) Разложим числа на простые множители:
\(21 = 3 \cdot 7\),
\(84 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7\).
Наибольший общий делитель (НОД) — это произведение общих простых множителей с наименьшими степенями:
\(НОД(21; 84) = 3 \cdot 7 = 21\).

б) Разложим числа на простые множители:
\(27 = 3 \cdot 3 \cdot 3\),
\(81 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3\).
Общие множители — три тройки, значит:
\(НОД(27; 81) = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27\).

в) Разложим числа на простые множители:
\(32 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2\),
\(96 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3\).
Общие множители — пять двоек:
\(НОД(32; 96) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32\).

г) Разложим числа на простые множители:
\(75 = 3 \cdot 5 \cdot 5\),
\(150 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5\).
Общие множители — \(3 \cdot 5 \cdot 5\):
\(НОД(75; 150) = 3 \cdot 5 \cdot 5 = 75\).

1) Для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) чисел 21 и 84 сначала разложим каждое число на простые множители. Простые множители — это числа, которые делят данное число без остатка и не имеют других делителей, кроме 1 и самого себя. Для 21 разложение выглядит так: \(21 = 3 \cdot 7\). Для 84 разложение будет: \(84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7\). Теперь, чтобы найти НОД, нужно взять те простые множители, которые встречаются в разложениях обоих чисел, и выбрать для каждого из них наименьшую степень. В данном случае общие множители — это 3 и 7, причем в обоих числах они в первой степени. Следовательно, НОД равен произведению этих множителей: \(НОД(21; 84) = 3 \cdot 7 = 21\).

2) Рассмотрим числа 27 и 81. Их разложения на простые множители: \(27 = 3^3\) и \(81 = 3^4\). Здесь оба числа состоят только из множителей 3, но в разной степени. Чтобы найти НОД, берем минимальную степень для общего простого множителя, то есть \(3^3\). Значит, \(НОД(27; 81) = 3^3 = 27\). Это означает, что 27 — максимальное число, которое без остатка делит оба исходных числа.

3) Для чисел 32 и 96 разложение на простые множители следующее: \(32 = 2^5\), а \(96 = 2^5 \cdot 3\). Здесь общий множитель — это \(2^5\), так как 3 не входит в разложение 32. Следовательно, НОД — это \(2^5 = 32\). Это подтверждает, что 32 является наибольшим числом, делящим оба числа без остатка.

4) Рассмотрим числа 75 и 150. Их разложения: \(75 = 3 \cdot 5^2\), \(150 = 2 \cdot 3 \cdot 5^2\). Общие множители — это 3 и \(5^2\), так как 2 входит только в разложение 150. Для НОД берем минимальные степени общих множителей: \(3^1\) и \(5^2\). Значит, \(НОД(75; 150) = 3 \cdot 5^2 = 75\). Это число максимально делит оба исходных числа без остатка.

Таким образом, метод разложения на простые множители и выбор общих множителей с наименьшими степенями позволяет найти НОД для любых целых чисел. В каждом случае мы внимательно сравниваем множители и учитываем их степени, чтобы получить правильный результат.