ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 2.60 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Найдите наибольший общий делитель чисел:
а) 42 и 63; б) 30 и 40; в) 45 и 30; г) 66 и 88.

а) \(42 = 2 \cdot 3 \cdot 7\), \(63 = 3 \cdot 3 \cdot 7\). Общие простые множители: \(3\) и \(7\).
НОД \((42; 63) = 3 \cdot 7 = 21\).

б) \(30 = 2 \cdot 3 \cdot 5\), \(40 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5\). Общие простые множители: \(2\) и \(5\).
НОД \((30; 40) = 2 \cdot 5 = 10\).

в) \(45 = 3 \cdot 3 \cdot 5\), \(30 = 2 \cdot 3 \cdot 5\). Общие простые множители: \(3\) и \(5\).
НОД \((45; 30) = 3 \cdot 5 = 15\).

г) \(66 = 2 \cdot 3 \cdot 11\), \(88 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 11\). Общие простые множители: \(2\) и \(11\).
НОД \((66; 88) = 2 \cdot 11 = 22\).

1) Для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) чисел \(42\) и \(63\) сначала разложим каждое число на простые множители. Число \(42\) раскладывается как \(2 \cdot 3 \cdot 7\), так как \(42 = 2 \times 3 \times 7\). Число \(63\) раскладывается как \(3^{2} \cdot 7\), так как \(63 = 3 \times 3 \times 7\). Теперь необходимо выделить общие множители. В данном случае это \(3\) и \(7\), причем у числа \(42\) по одному множителю \(3\), а у числа \(63\) два множителя \(3\). Для НОД берем минимальную степень каждого общего простого множителя, то есть \(3^{1}\) и \(7^{1}\). Перемножая их, получаем \(3 \cdot 7 = 21\). Следовательно, наибольший общий делитель чисел \(42\) и \(63\) равен \(21\).

2) Рассмотрим числа \(30\) и \(40\). Разложим их на простые множители: \(30 = 2 \cdot 3 \cdot 5\), а \(40 = 2^{3} \cdot 5\), так как \(40 = 2 \times 2 \times 2 \times 5\). Общими простыми множителями являются \(2\) и \(5\). Для определения НОД необходимо взять минимальные степени каждого общего множителя. У числа \(30\) степень множителя \(2\) равна \(1\), у числа \(40\) — \(3\), значит выбираем \(2^{1}\). Для множителя \(5\) степень равна \(1\) в обоих числах. Перемножив \(2^{1}\) и \(5^{1}\), получаем \(2 \cdot 5 = 10\). Таким образом, НОД чисел \(30\) и \(40\) равен \(10\).

3) Для чисел \(45\) и \(30\) разложение на простые множители выглядит так: \(45 = 3^{2} \cdot 5\), а \(30 = 2 \cdot 3 \cdot 5\). Общие множители — \(3\) и \(5\). Степень множителя \(3\) у \(45\) равна \(2\), у \(30\) — \(1\), значит для НОД берем \(3^{1}\). Множитель \(5\) присутствует в степени \(1\) у обоих чисел. Перемножая, получаем \(3 \cdot 5 = 15\). Следовательно, НОД \(45\) и \(30\) равен \(15\).

4) Рассмотрим числа \(66\) и \(88\). Разложим их на простые множители: \(66 = 2 \cdot 3 \cdot 11\), \(88 = 2^{3} \cdot 11\). Общие множители — \(2\) и \(11\). Минимальная степень множителя \(2\) — \(1\), множителя \(11\) — \(1\). Перемножая, получаем \(2 \cdot 11 = 22\). Таким образом, НОД чисел \(66\) и \(88\) равен \(22\).