ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 2.6 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Каким числом может быть выражен объём куба, если его ребро выражено натуральным числом?

Объём куба при натуральном ребре \(n\) равен \(V=n^3\).

Такое число всегда составное, так как у \(n^3\) минимум четыре делителя: \(1\), \(n\), \(n^2\), \(n^3\).

Ответ: составное число \(n^3\) при \(n\in \mathbb{N}\).

1) Пусть ребро куба выражено натуральным числом \(n\in\mathbb{N}\). Тогда по формуле объёма куба получаем \(V=n^3\). Это значение является натуральным кубом, то есть результатом умножения одного и того же натурального числа на себя трижды. Уже из вида произведения \(n\cdot n\cdot n\) видно, что у \(V\) есть по крайней мере делители \(1\), \(n\), \(n^2\) и \(n^3\). Следовательно, \(V\) имеет более двух положительных делителей и потому не может быть простым числом.

2) Единственное исключение могло бы возникнуть при \(n=1\). В этом случае \(V=1^3=1\). Число \(1\) не является ни простым, ни составным, но по условию вопроса рассматривается общий случай натурального ребра. Для любого \(n\ge 2\) разложение на множители содержит повторяющийся множитель \(n\), поэтому среди делителей \(n^3\) присутствуют как минимум \(1\), \(n\), \(n^2\), \(n^3\). Таким образом, при \(n\ge 2\) число \(n^3\) обязательно составное, поскольку имеет больше двух различных натуральных делителей.

3) Итак, при натуральном ребре \(n\) объём куба выражается числом вида \(n^3\). Для всех \(n\ge 2\) это составное число, так как \(n^3\) делится на \(n\) и на \(n^2\) помимо тривиальных делителей \(1\) и самого \(n^3\). Следовательно, объём куба при натуральном ребре может быть выражен составным числом \(n^3\) при \(n\ge 2\), а при \(n=1\) объём равен \(1\).