ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 2.58 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Разложите каждое число на простые множители, подчеркните общие множители и запишите наибольшее число, на которое делятся числа каждой пары:
а) 36 и 48; б) 84 и 96; в) 45 и 60; г) 72 и 90.

Наибольший общий делитель (НОД) находится так: раскладываем числа на простые множители, выбираем общие множители с наименьшими степенями и перемножаем их.

а) Для чисел 36 и 48:
\(36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3\),
\(48 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3\).
Общие множители: \(2 \cdot 2 \cdot 3\).
НОД(36, 48) = \(2 \cdot 2 \cdot 3 = 12\).

б) Для чисел 84 и 96:
\(84 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7\),
\(96 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3\).
Общие множители: \(2 \cdot 2 \cdot 3\).
НОД(84, 96) = \(2 \cdot 2 \cdot 3 = 12\).

в) Для чисел 45 и 60:
\(45 = 3 \cdot 3 \cdot 5\),
\(60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5\).
Общие множители: \(3 \cdot 5\).
НОД(45, 60) = \(3 \cdot 5 = 15\).

г) Для чисел 72 и 90:
\(72 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3\),
\(90 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5\).
Общие множители: \(2 \cdot 3 \cdot 3\).
НОД(72, 90) = \(2 \cdot 3 \cdot 3 = 18\).

1) Для чисел 36 и 48 сначала разложим каждое число на простые множители. Число 36 раскладывается как \(36 = 2^2 \cdot 3^2\), потому что 36 делится на 2 два раза подряд (получаем 18, затем 9), а затем на 3 два раза (9 делится на 3 дважды). Аналогично, число 48 раскладывается как \(48 = 2^4 \cdot 3\), так как 48 делится на 2 четыре раза (получаем 24, 12, 6, 3), а затем на 3 один раз.

Во втором шаге нужно найти общие множители, то есть те простые числа, которые входят в разложение обоих чисел. Для 36 и 48 это числа 2 и 3. При этом степень каждого общего множителя берется минимальная из двух разложений: для двойки это \(2^2\) (минимум из \(2^2\) и \(2^4\)), для тройки — \(3^1\) (минимум из \(3^2\) и \(3^1\)).

Теперь перемножим найденные общие множители с их минимальными степенями: \(2^2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12\). Таким образом, наибольший общий делитель (НОД) чисел 36 и 48 равен 12.

2) Для чисел 84 и 96 разложим каждое на простые множители. Число 84 раскладывается так: \(84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7\), так как 84 делится на 2 дважды (получаем 42, затем 21), на 3 один раз, и на 7 один раз. Число 96 раскладывается как \(96 = 2^5 \cdot 3\), поскольку 96 делится на 2 пять раз подряд (получаем 48, 24, 12, 6, 3), а затем на 3 один раз.

Общие множители — это 2 и 3. Степени берутся минимальные: для двойки это \(2^2\) (минимум из \(2^2\) и \(2^5\)), для тройки — \(3^1\) (минимум из \(3^1\) и \(3^1\)). Множитель 7 в числе 84 не входит в число 96, поэтому его не учитываем.

Перемножая общие множители с минимальными степенями, получаем: \(2^2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12\). Значит, НОД(84, 96) равен 12.

3) Рассмотрим числа 45 и 60. Разложение числа 45: \(45 = 3^2 \cdot 5\), так как 45 делится на 3 дважды (получаем 15, затем 5), и на 5 один раз. Число 60 раскладывается как \(60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5\), так как 60 делится на 2 дважды (получаем 30, затем 15), на 3 один раз и на 5 один раз.

Общие множители — 3 и 5. Для 3 берем минимальную степень, то есть \(3^1\) (минимум из \(3^2\) и \(3^1\)), для 5 — \(5^1\) (оба числа содержат 5 в первой степени). Множитель 2 в числе 60 отсутствует в 45, поэтому его не учитываем.

Перемножаем общие множители: \(3 \cdot 5 = 15\). Следовательно, НОД(45, 60) равен 15.

4) Для чисел 72 и 90 разложение на простые множители:
\(72 = 2^3 \cdot 3^2\), так как 72 делится на 2 три раза (получаем 36, 18, 9), а затем на 3 два раза (9 делится на 3 дважды).
\(90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5\), так как 90 делится на 2 один раз, на 3 два раза, и на 5 один раз.

Общие множители — 2 и 3. Степени берутся минимальные: для двойки это \(2^1\) (минимум из \(2^3\) и \(2^1\)), для тройки — \(3^2\) (минимум из \(3^2\) и \(3^2\)). Множитель 5 в числе 90 не входит в число 72, поэтому его не учитываем.

Перемножаем общие множители с минимальными степенями: \(2 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9 = 18\). Таким образом, НОД(72, 90) равен 18.