ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 2.57 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Найдите все общие делители чисел:
а) 20 и 70; б) 36, 48 и 144; в) 22 и 105.

а) Общие делители чисел 20 и 70:
\(20 = 2^2 \cdot 5\), \(70 = 2 \cdot 5 \cdot 7\).
Общие простые делители: \(2\) и \(5\).
Общие делители: \(1, 2, 5, 10\).

б) Общие делители чисел 36, 48 и 144:
\(36 = 2^2 \cdot 3^2\), \(48 = 2^4 \cdot 3\), \(144 = 2^4 \cdot 3^2\).
Общие простые делители: \(2\) и \(3\).
Общие делители: \(1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36\).

в) Общие делители чисел 22 и 105:
\(22 = 2 \cdot 11\), \(105 = 3 \cdot 5 \cdot 7\).
Общих простых делителей нет.
Общие делители: \(1\).

а) Рассмотрим числа 20 и 70. Для начала разложим каждое число на простые множители. Число 20 раскладывается как \(20 = 2^2 \cdot 5\), то есть оно состоит из двух двоек и одной пятёрки. Число 70 раскладывается как \(70 = 2 \cdot 5 \cdot 7\), то есть в его разложении присутствуют простые числа 2, 5 и 7. Чтобы найти общие делители, нужно определить, какие простые множители встречаются в разложениях обоих чисел. В данном случае это числа 2 и 5, так как они есть и в числе 20, и в числе 70.

Теперь, зная общие простые множители, можно найти все общие делители. Общие делители — это все числа, которые можно получить, взяв различные степени общих простых множителей, не превышающие их степени в каждом из чисел. Для числа 20 степень двойки равна 2, а для 70 — 1, значит в общих делителях степень двойки будет минимальной — 1. Для пятёрки степень равна 1 в обоих числах. Таким образом, общие делители формируются из множителей \(2^0, 2^1\) и \(5^0, 5^1\). Перемножая эти степени, получаем: \(1 = 2^0 \cdot 5^0\), \(2 = 2^1 \cdot 5^0\), \(5 = 2^0 \cdot 5^1\), \(10 = 2^1 \cdot 5^1\). Следовательно, общие делители чисел 20 и 70 — это \(1, 2, 5, 10\).

б) Рассмотрим три числа: 36, 48 и 144. Сначала разложим каждое на простые множители. Число 36 раскладывается как \(36 = 2^2 \cdot 3^2\), то есть содержит две двойки и две тройки. Число 48 раскладывается как \(48 = 2^4 \cdot 3\), то есть четыре двойки и одна тройка. Число 144 раскладывается как \(144 = 2^4 \cdot 3^2\), то есть четыре двойки и две тройки. Для нахождения общих делителей нужно найти общие простые множители и минимальные степени для каждого из них. Общие простые множители — это 2 и 3, так как они присутствуют во всех трёх числах. Минимальная степень двойки — это 2 (так как в числе 36 степень двойки 2, а в других числах 4, берём меньшую), а минимальная степень тройки — это 1 (в числе 48 тройка в первой степени).

Теперь построим все возможные общие делители, используя степени двойки от 0 до 2 и тройки от 0 до 1. Это будут числа вида \(2^a \cdot 3^b\), где \(a = 0, 1, 2\), а \(b = 0, 1\). Перечислим все варианты:
— \(2^0 \cdot 3^0 = 1\)
— \(2^1 \cdot 3^0 = 2\)
— \(2^2 \cdot 3^0 = 4\)
— \(2^0 \cdot 3^1 = 3\)
— \(2^1 \cdot 3^1 = 6\)
— \(2^2 \cdot 3^1 = 12\)

Однако в условии указаны также делители с большей степенью двойки и тройки, например \(8 = 2^3\), \(9 = 3^2\), \(16 = 2^4\), \(18 = 2 \cdot 3^2\), \(24 = 2^3 \cdot 3\), \(36 = 2^2 \cdot 3^2\). Это возможно, если учесть, что 48 и 144 имеют более высокие степени двойки и тройки, а общий делитель должен быть делителем каждого из чисел. Чтобы уточнить, нужно брать минимальные степени для каждого простого множителя из всех трёх чисел. Для двойки минимальная степень — 2, для тройки — 1, значит общие делители — те, которые можно составить из \(2^0, 2^1, 2^2\) и \(3^0, 3^1\). Но в списке указаны и более высокие степени, что не соответствует минимальному показателю. Верный список общих делителей с учётом минимальных степеней: \(1, 2, 3, 4, 6, 12\).

в) Рассмотрим числа 22 и 105. Разложим их на простые множители:
\(22 = 2 \cdot 11\), то есть простые множители — 2 и 11.
\(105 = 3 \cdot 5 \cdot 7\), то есть простые множители — 3, 5 и 7.
Общих простых множителей у этих чисел нет, так как множители полностью различны. Это значит, что единственным общим делителем будет число 1, так как 1 является делителем любого числа. Таким образом, общие делители чисел 22 и 105 — это только число 1.