ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 2.522 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Найдите произведение дробей \(\frac{4}{5}\) и \(\frac{13}{9}\) и произведение дробей, обратных данным. Каким свойством обладают эти два произведения? Проверьте ваше предположение ещё на одном примере. Докажите это свойство в общем виде (с помощью буквенных выражений).

Произведение дробей:
\(\frac{4}{5} \cdot \frac{13}{9} = \frac{4 \cdot 13}{5 \cdot 9} = \frac{52}{45}\).

Произведение дробей, обратных данным:
\(\frac{5}{4} \cdot \frac{9}{13} = \frac{5 \cdot 9}{4 \cdot 13} = \frac{45}{52}\).

Произведение дробей, обратных данным, обратно произведению этих дробей.

Еще пример:
\(\frac{3}{7} \cdot \frac{9}{11} = \frac{3 \cdot 9}{7 \cdot 11} = \frac{27}{77}\),
\(\frac{7}{3} \cdot \frac{11}{9} = \frac{7 \cdot 11}{3 \cdot 9} = \frac{77}{27}\).

Докажем это свойство в общем виде:
\(\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}\),
\(\frac{b}{a} \cdot \frac{d}{c} = \frac{bd}{ac}\).

Дробь \(\frac{ac}{bd}\) обратна дроби \(\frac{bd}{ac}\).

Произведение двух дробей вычисляется путем умножения числителей и знаменателей отдельно. Например, для дробей \(\frac{4}{5}\) и \(\frac{13}{9}\) произведение будет \(\frac{4 \cdot 13}{5 \cdot 9} = \frac{52}{45}\). Здесь мы просто перемножили числители \(4\) и \(13\), а затем знаменатели \(5\) и \(9\). Это основной способ умножения дробей, который позволяет получить новую дробь, представляющую произведение исходных.

Если взять дроби, обратные исходным, то есть \(\frac{5}{4}\) и \(\frac{9}{13}\), и перемножить их, получится \(\frac{5 \cdot 9}{4 \cdot 13} = \frac{45}{52}\). Обратите внимание, что произведение обратных дробей является обратным произведению исходных дробей. Это означает, что если исходное произведение было \(\frac{52}{45}\), то произведение обратных дробей будет \(\frac{45}{52}\), то есть дробь, обратная первой. Это важное свойство обратных дробей.

Рассмотрим еще один пример: умножим \(\frac{3}{7}\) на \(\frac{9}{11}\), получим \(\frac{3 \cdot 9}{7 \cdot 11} = \frac{27}{77}\). Обратные дроби к этим — \(\frac{7}{3}\) и \(\frac{11}{9}\). Их произведение равно \(\frac{7 \cdot 11}{3 \cdot 9} = \frac{77}{27}\). Здесь видно, что произведение обратных дробей \(\frac{77}{27}\) является обратным произведению исходных дробей \(\frac{27}{77}\).

Обобщая, для любых дробей \(\frac{a}{b}\) и \(\frac{c}{d}\) произведение равно \(\frac{ac}{bd}\), а произведение обратных дробей \(\frac{b}{a}\) и \(\frac{d}{c}\) равно \(\frac{bd}{ac}\). Эти две дроби взаимно обратны, то есть \(\frac{ac}{bd}\) — обратная дробь к \(\frac{bd}{ac}\). Это доказывает, что произведение обратных дробей всегда обратное произведению исходных дробей.