ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 2.516 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Найдите значение выражения \(\frac{7{,}4-6{,}2}{1{,}3+5{,}9}\) при:
а) \(n=2\frac{1}{5}+\frac{3}{4}:\frac{3}{7}\);
б) \(n=1{,}2\cdot(1-0{,}4)\).

Если в числителе и знаменателе десятичные дроби, переносим запятые так, чтобы получить натуральные числа и количество знаков после запятой было одинаковым.

Преобразуем исходное выражение:

\( \frac{n}{7{,}4 — 6{,}2} + \frac{n}{1{,}3 + 5{,}9} = \frac{n}{1{,}2} + \frac{n}{7{,}2} = \frac{n \cdot 6}{1{,}2 \cdot 6} + \frac{n}{7{,}2} = \frac{6n}{7{,}2} + \frac{n}{7{,}2} = \frac{6n + n}{7{,}2} = \frac{7n}{7{,}2} \)

Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель умножить на одно и то же число, дробь не изменится.

При сложении (вычитании) дробей с равными знаменателями складываем (вычитаем) числители, знаменатель остаётся без изменений.

а) При \( n = 2 \frac{1}{5} + 3 \frac{4}{7} \):

\( n = 2 \frac{1 \cdot 7}{5 \cdot 7} + 3 \frac{4 \cdot 5}{7 \cdot 5} = 2 \frac{7}{35} + 3 \frac{20}{35} = (2 + 3) + \left( \frac{7}{35} + \frac{20}{35} \right) = 5 + \frac{27}{35} = \frac{202}{35} \)

Подставляем в дробь:

\( \frac{7n}{7{,}2} = \frac{7 \cdot \frac{202}{35}}{7{,}2} = \frac{\frac{7 \cdot 202}{35}}{7{,}2} = \frac{\frac{1414}{35}}{7{,}2} = \frac{1414}{35 \cdot 7{,}2} \)

Переводим знаменатель:

\( 7{,}2 = \frac{72}{10} \), тогда

\( \frac{1414}{35 \cdot \frac{72}{10}} = \frac{1414}{\frac{2520}{10}} = \frac{1414 \cdot 10}{2520} = \frac{14140}{2520} \)

Сокращаем:

\( \frac{14140}{2520} = \frac{101}{18} = 5 \frac{11}{18} \)

б) При \( n = 1{,}2 \cdot (1 — 0{,}4) = 1{,}2 \cdot 0{,}6 = 0{,}72 \):

\( \frac{7n}{7{,}2} = \frac{7 \cdot 0{,}72}{7{,}2} = \frac{5{,}04}{7{,}2} = 0{,}7 \)

Если в числителе и знаменателе дробного выражения стоят десятичные дроби, то для удобства вычислений нужно избавиться от десятичных знаков. Для этого запятые в числителе и знаменателе сдвигают вправо на одинаковое количество знаков, чтобы получить натуральные числа. Важно, чтобы количество знаков после запятой в числителе и знаменателе было одинаковым, иначе дробь изменится. Это позволяет упростить выражение, сохранив его значение.

Рассмотрим исходное выражение:

\( \frac{n}{7{,}4 — 6{,}2} + \frac{n}{1{,}3 + 5{,}9} \).

Сначала вычислим значения в знаменателях:

\( 7{,}4 — 6{,}2 = 1{,}2 \),

\( 1{,}3 + 5{,}9 = 7{,}2 \).

Теперь дроби выглядят так:

\( \frac{n}{1{,}2} + \frac{n}{7{,}2} \).

Чтобы избавиться от десятичных дробей в знаменателях, умножим числитель и знаменатель первой дроби на 6 (так как \(1{,}2 \times 6 = 7{,}2\)):

\( \frac{n}{1{,}2} = \frac{n \cdot 6}{1{,}2 \cdot 6} = \frac{6n}{7{,}2} \).

Теперь обе дроби имеют одинаковый знаменатель \(7{,}2\), и их можно сложить:

\( \frac{6n}{7{,}2} + \frac{n}{7{,}2} = \frac{6n + n}{7{,}2} = \frac{7n}{7{,}2} \).

Таким образом, исходное выражение упрощается до одной дроби с числителем \(7n\) и знаменателем \(7{,}2\).

а) Рассмотрим случай, когда \( n = 2 \frac{1}{5} + 3 \frac{4}{7} \).

Переведём смешанные числа в неправильные дроби с общим знаменателем:

\( 2 \frac{1}{5} = 2 + \frac{1}{5} = \frac{2 \cdot 5}{5} + \frac{1}{5} = \frac{10}{5} + \frac{1}{5} = \frac{11}{5} \),

\( 3 \frac{4}{7} = 3 + \frac{4}{7} = \frac{3 \cdot 7}{7} + \frac{4}{7} = \frac{21}{7} + \frac{4}{7} = \frac{25}{7} \).

Чтобы сложить \( \frac{11}{5} \) и \( \frac{25}{7} \), найдём общий знаменатель, равный \(35\):

\( \frac{11}{5} = \frac{11 \cdot 7}{5 \cdot 7} = \frac{77}{35} \),

\( \frac{25}{7} = \frac{25 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{125}{35} \).

Складываем числители:

\( 77 + 125 = 202 \),

получаем сумму:

\( \frac{202}{35} \).

Подставляем это значение в выражение:

\( \frac{7n}{7{,}2} = \frac{7 \cdot \frac{202}{35}}{7{,}2} = \frac{\frac{1414}{35}}{7{,}2} \).

Перепишем знаменатель \(7{,}2\) как дробь:

\( 7{,}2 = \frac{72}{10} \).

Деление на дробь эквивалентно умножению на её обратную:

\( \frac{1414}{35} \div \frac{72}{10} = \frac{1414}{35} \cdot \frac{10}{72} = \frac{1414 \cdot 10}{35 \cdot 72} = \frac{14140}{2520} \).

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 140:

\( \frac{14140 \div 140}{2520 \div 140} = \frac{101}{18} \).

В смешанную дробь:

\( \frac{101}{18} = 5 \frac{11}{18} \).

б) Рассмотрим случай, когда \( n = 1{,}2 \cdot (1 — 0{,}4) \).

Вычислим выражение в скобках:

\( 1 — 0{,}4 = 0{,}6 \).

Умножаем:

\( 1{,}2 \cdot 0{,}6 = 0{,}72 \).

Подставляем в выражение:

\( \frac{7n}{7{,}2} = \frac{7 \cdot 0{,}72}{7{,}2} = \frac{5{,}04}{7{,}2} \).

Опять выражаем знаменатель в виде дроби:

\( 7{,}2 = \frac{72}{10} \).

Делим числитель на знаменатель:

\( \frac{5{,}04}{\frac{72}{10}} = 5{,}04 \cdot \frac{10}{72} = \frac{50{,}4}{72} \).

Сокращаем дробь, разделив числитель и знаменатель на 7,2:

\( \frac{50{,}4 \div 7{,}2}{72 \div 7{,}2} = \frac{7}{10} = 0{,}7 \).