ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 2.5 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

 Каким числом может быть выражена площадь квадрата, если его сторона выражена натуральным числом?

Пусть сторона квадрата — натуральное число \(n\).

Тогда его площадь равна \(S=n^{2}\).

Число \(n^{2}\) имеет как минимум делители \(1,\,n,\,n^{2}\), то есть больше двух делителей, следовательно, \(n^{2}\) — составное число (кроме случая \(n=1\), где \(S=1\), что не составное).

Ответ: площадь выражается составным числом \(n^{2}\) при \(n\ge2\) (а при \(n=1\) — \(1\)).

1) Пусть сторона квадрата равна натуральному числу \(n\). Тогда площадь квадрата, по определению площади, равна произведению длины стороны на саму себя: \(S=n\cdot n=n^{2}\). Здесь степень записана в виде верхнего индекса, что фиксирует факт возведения в квадрат. Таким образом, любые допустимые площади при натуральной стороне — это все квадраты натуральных чисел: \(1^{2},2^{2},3^{2},\dots\), то есть \(1,4,9,16,\dots\).

2) Исследуем делители числа вида \(n^{2}\). Минимальный набор делителей у любого такого квадрата включает \(1\), сам корень \(n\) и сам квадрат \(n^{2}\). Это уже не менее трёх делителей, то есть больше двух. Следовательно, для всех \(n\ge2\) число \(n^{2}\) не является простым, потому что простое число имеет ровно два делителя. Поэтому при \(n\ge2\) площадь \(S=n^{2}\) всегда относится к составным числам. Для наглядности: при \(n=2\) получаем \(S=4\) с делителями \(1,2,4\); при \(n=3\) получаем \(S=9\) с делителями \(1,3,9\); при \(n=5\) получаем \(S=25\) с делителями \(1,5,25\). Во всех случаях видна обязательная тройка делителей, гарантирующая составность.

3) Особый граничный случай — \(n=1\). Тогда \(S=1^{2}=1\). Число \(1\) не относится ни к простым, ни к составным: у него единственный делитель \(1\). Следовательно, при \(n=1\) площадь не является составной, но при этом она остаётся квадратом натурального числа. Итак, полный ответ формулируется так: множество всех возможных площадей — это все квадраты натуральных чисел \(S=n^{2}\) при \(n\in\{1,2,3,\dots\}\); при \(n\ge2\) площадь всегда составная, а при \(n=1\) равна \(1\).