ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 2.452 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Являются ли числа \(m\) и \(n\) взаимно обратными, если:

а) \(m=0{,}5\), \(n=2\);

б) \(m=1{,}75\), \(n=\frac{4}{7}\);

в) \(m=0{,}35\), \(n=2\frac{6}{7}\)?

Для проверки взаимной обратности умножаем \(m\) на \(n\). Если \(mn=1\), то числа взаимно обратны.

a) \(m=0{,}5,\ n=2\). Тогда \(mn=0{,}5\cdot2=1\). Числа взаимно обратны.

б) \(m=1{,}75,\ n=\frac{4}{7}\). Переведём \(1{,}75=\frac{175}{100}\): \(mn=\frac{175}{100}\cdot\frac{4}{7}=\frac{25}{25}=1\). Числа взаимно обратны.

в) \(m=0{,}35,\ n=2\frac{6}{7}=\frac{20}{7}\). Переведём \(0{,}35=\frac{35}{100}\): \(mn=\frac{35}{100}\cdot\frac{20}{7}=\frac{5}{5}=1\). Числа взаимно обратны.

1) Критерий взаимной обратности: два числа называются взаимно обратными, если произведение равно единице. Это напрямую следует из определения обратного числа: для любого ненулевого \(m\) существует число \(n\), такое что \(m\cdot n=1\), тогда \(n=\frac{1}{m}\), а \(m=\frac{1}{n}\). Поэтому во всех пунктах достаточно аккуратно перемножить данные числа, приведя десятичные дроби и смешанные числа к обыкновенным дробям, упростить дроби сокращением на общий множитель числителя и знаменателя и проверить, что результат равен \(1\).

a) Дано \(m=0{,}5\) и \(n=2\). Переведём десятичную дробь в обыкновенную: \(0{,}5=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\). Тогда произведение равно \(mn=\frac{1}{2}\cdot2=1\). Здесь фактически используется свойство, что число и его обратное дают единицу: \(2\) и \(\frac{1}{2}\) взаимно обратны, следовательно, исходные \(0{,}5\) и \(2\) также взаимно обратны. Дополнительно заметим, что если заменить \(2\) на \(\frac{1}{0{,}5}\), то получим то же самое равенство \(0{,}5\cdot\frac{1}{0{,}5}=1\).

б) Дано \(m=1{,}75\) и \(n=\frac{4}{7}\). Переведём \(1{,}75\) в дробь: \(1{,}75=\frac{175}{100}\), затем сократим на \(25\): \(\frac{175}{100}=\frac{7}{4}\). Теперь перемножим: \(mn=\frac{7}{4}\cdot\frac{4}{7}=\frac{7\cdot4}{4\cdot7}=\frac{28}{28}=1\). Получили точное сокращение числителя и знаменателя на одинаковые множители \(7\) и \(4\). Следовательно, \(1{,}75\) и \(\frac{4}{7}\) взаимно обратны, поскольку второе число равно \(\frac{1}{1{,}75}\), а первое, в свою очередь, равно \(\frac{1}{\left(\frac{4}{7}\right)}=\frac{7}{4}=1{,}75\).

в) Дано \(m=0{,}35\) и \(n=2\frac{6}{7}\). Сначала приведём каждое число к несократимому виду дроби. Десятичная дробь \(0{,}35=\frac{35}{100}\), сократим на \(5\): \(\frac{35}{100}=\frac{7}{20}\). Смешанное число \(2\frac{6}{7}=\frac{2\cdot7+6}{7}=\frac{20}{7}\). Перемножим: \(mn=\frac{7}{20}\cdot\frac{20}{7}=\frac{7\cdot20}{20\cdot7}=\frac{140}{140}=1\). Сокращение происходит попарно на \(7\) и на \(20\), что даёт результат \(1\). Следовательно, \(0{,}35\) и \(2\frac{6}{7}\) взаимно обратны, поскольку действительно \(2\frac{6}{7}=\frac{1}{0{,}35}\), а \(0{,}35=\frac{1}{2\frac{6}{7}}\).

Итог: во всех трёх пунктах произведения равны \(1\): в а) \(0{,}5\cdot2=1\), в б) \(\frac{7}{4}\cdot\frac{4}{7}=1\), в в) \(\frac{7}{20}\cdot\frac{20}{7}=1\). Значит, во всех случаях числа являются взаимно обратными.