ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 2.449 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Есть ли число:
а) обратное самому себе;
б) не имеющее обратного?

а) По определению, взаимно обратные числа при умножении дают 1. Так как \(1\cdot1=1\), число 1 является обратным самому себе.

б) Обратное к числу \(a\) — это число \(b\), для которого \(a\cdot b=1\). Для \(a=0\) такого \(b\) не существует, потому что при умножении на ноль всегда получается \(0\), то есть \(0\cdot b=0\neq1\). Поэтому у 0 нет обратного числа.

а) По определению, два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно единице: \(a\cdot b=1\). Искомое обратное к числу \(a\) обычно записывают как \(a^{-1}\), и тогда выполняется равенство \(a\cdot a^{-1}=1\) при \(a\neq0\). Подставим \(a=1\). Проверяем: \(1\cdot1=1\). Следовательно, число \(1\) удовлетворяет собственному условию обратимости и является обратным самому себе. Это единственный случай, когда число одновременно и исходное, и его обратное совпадают, поскольку для любого другого ненулевого \(a\) выполняется \(a\cdot\frac{1}{a}=1\), но \(\frac{1}{a}\neq a\), кроме случая \(a=1\) и случая \(a=-1\) (для \(-1\) обратное равно \(-1\), так как \((-1)\cdot(-1)=1\)). В рамках пункта задачи подтверждаем: \(1\) обратно \(1\), так как \(1\cdot1=1\).

б) Обратное число к \(a\) существует тогда и только тогда, когда уравнение \(a\cdot b=1\) имеет решение относительно \(b\). Для \(a=0\) это уравнение принимает вид \(0\cdot b=1\). Левая часть всегда равна нулю для любого \(b\), то есть \(0\cdot b=0\). Следовательно, равенство \(0=1\) невыполнимо, и множество решений пусто: \(\emptyset\). Поэтому число \(0\) не имеет обратного, так как невозможно найти такое \(b\), чтобы произведение с нулем дало единицу. Это согласуется с основным свойством умножения нулем: произведение любого числа на ноль равно нулю, а не единице.

Вывод по пунктам задачи: в пункте а) условие взаимной обратимости выполняется, потому что \(1\cdot1=1\); в пункте б) условие невыполнимо, потому что для любого \(b\) имеем \(0\cdot b=0\neq1\). Таким образом, \(1\) является обратным самому себе, а у числа \(0\) обратного числа не существует.