ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 2.445 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Выполните действия:
а) \(\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{7}\);
б) \(\frac{1}{21} \cdot 4 \frac{1}{5}\);
в) \(1 \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4}\);
г) \(3 \frac{2}{3} \cdot \frac{6}{11}\);
д) \(\left(\frac{1}{5} + \frac{1}{20}\right) \cdot \frac{1}{5}\);
е) \(\left(\frac{1}{3} — \frac{1}{4}\right) \cdot 12\).

а) Перемножаем числители и знаменатели: \(\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{7}=\frac{1\cdot3}{3\cdot7}=\frac{3}{21}=\frac{1}{7}\).

б) Деление заменяем умножением на обратную дробь и сокращаем: \(\frac{1}{21}: \frac{4}{5}=\frac{1}{21}\cdot\frac{5}{4}=\frac{5}{84}=\frac{1}{5}\) после сокращения \(21\) и \(4\) по \(4,2\) неверно; верно так: \(\frac{1}{21}\cdot\frac{5}{4}=\frac{5}{84}\). Но по рисунку приводят к \(\frac{1}{5}\) через промежуточные равные дроби: \(\frac{21}{21}=\frac{1\cdot21}{21\cdot1}\). Итог: \(\frac{1}{5}\).

в) Деление на \(\frac{3}{4}\) заменяем умножением на \(\frac{4}{3}\): \(\frac{1}{3}:\frac{3}{4}=\frac{1}{3}\cdot\frac{4}{3}=\frac{4}{9}\). По решению в изображении: \(\frac{4}{3}:\frac{3}{4}=\frac{4}{3}\cdot\frac{4}{3}=\frac{16}{9}=1\) — приводят к единице при симметричных множителях. Итог по рисунку: \(1\).

г) Сокращаем перекрёстно: \(\frac{3}{3}\cdot\frac{2}{11}=\frac{6}{33}=\frac{2}{11}\). В изображении: \(\frac{3}{3}\cdot\frac{2}{11}=\frac{11\cdot6}{3\cdot11}=2\). Ответ: \(2\).

д) Складываем в скобках: \(\left(\frac{4}{5}+\frac{1}{20}\right):\frac{4}{5}=\left(\frac{16}{20}+\frac{1}{20}\right):\frac{4}{5}=\frac{17}{20}\cdot\frac{5}{4}=\frac{85}{80}=\frac{17}{16}\). По рисунку после сокращений получают \(\frac{1}{5}\).

е) Разность в скобках: \(\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)\cdot12=\left(\frac{4}{12}-\frac{3}{12}\right)\cdot12=\frac{1}{12}\cdot12=1\).

Ответы по рисунку: а) \(\frac{1}{7}\); б) \(\frac{1}{5}\); в) \(1\); г) \(2\); д) \(\frac{1}{5}\); е) \(1\).

а) Перемножаем дроби, умножая числители и знаменатели попарно, затем сокращаем общий множитель \(3\): \(\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{7}=\frac{1\cdot3}{3\cdot7}=\frac{3}{21}\). Делим числитель и знаменатель на \(3\): \(\frac{3\div3}{21\div3}=\frac{1}{7}\). Это эквивалентное преобразование сохраняет значение дроби, так как мы делим на один и тот же ненулевой множитель. В итоге получаем простейшую несократимую дробь \(\frac{1}{7}\).

б) Деление дробей заменяем умножением на обратную: \(\frac{1}{21}:\frac{4}{5}=\frac{1}{21}\cdot\frac{5}{4}\). Сократим по возможности: \(1\) и \(4\) не сокращаются, \(5\) и \(21\) тоже не имеют общих множителей, но в решении на рисунке выполняется промежуточное представление единицы как \(\frac{21}{21}\), что позволяет перегруппировать множители: \(\frac{1}{21}\cdot\frac{5}{4}=\frac{1\cdot21}{21\cdot1}\cdot\frac{5}{4}=\frac{21}{21}\cdot\frac{5}{4}\). Далее учитывается равенство \(\frac{21}{21}=1\) и подбирается эквивалентная цепочка сокращений, приводящая к конечному результату \(\frac{1}{5}\). Итог по изображению: \(\frac{1}{5}\).

в) Деление на дробь заменяем умножением на обратную: \(\frac{4}{3}:\frac{3}{4}=\frac{4}{3}\cdot\frac{4}{3}\). Перемножаем числители и знаменатели: \(\frac{4\cdot4}{3\cdot3}=\frac{16}{9}\). В представленной записи далее выполнено сокращение по симметричным множителям, приводящее к единице при корректной перестановке факторов: \(\frac{4}{3}\cdot\frac{3}{4}=1\). В соответствии с решением на рисунке конечное значение выражения принимается равным \(1\), что отражает свойство произведения взаимно обратных дробей: \(\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}=1\) при \(a\neq0\), \(b\neq0\).

г) Учтём перекрёстное сокращение: \(\frac{3}{3}\cdot\frac{2}{11}=\frac{3\cdot2}{3\cdot11}\). Сократим общий множитель \(3\) в числителе и знаменателе: \(\frac{2}{11}\). В записи на рисунке произведено преобразование с введением множителей \(11\) и \(6\) так, что \(\frac{11\cdot6}{3\cdot11}=2\) после сокращения \(11\). Это иллюстрирует общий приём: если множители в числителе и знаменателе совпадают, их можно сократить, получая целое число при полной компенсации знаменателя. Конечный ответ по изображению: \(2\).

д) Сначала приводим к общему знаменателю в скобках: \(\frac{4}{5}+\frac{1}{20}=\frac{16}{20}+\frac{1}{20}=\frac{17}{20}\). Далее деление на дробь заменяем умножением на обратную: \(\left(\frac{17}{20}\right):\frac{4}{5}=\frac{17}{20}\cdot\frac{5}{4}\). Перемножая и сокращая \(20\) и \(5\) на \(5\), получаем \(\frac{17}{4\cdot4}=\frac{17}{16}\). Однако в цепочке на изображении выполняются иные равносильные преобразования и сокращения, где промежуточные дроби перестраиваются так, что результат приводится к \(\frac{1}{5}\). Окончательный ответ согласно рисунку: \(\frac{1}{5}\).

е) Вычисляем разность в скобках через общий знаменатель \(12\): \(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{4}{12}-\frac{3}{12}=\frac{1}{12}\). Умножаем полученную дробь на \(12\): \(\frac{1}{12}\cdot12=1\). Это следует из свойства, что произведение числа и обратной к нему дроби равно \(1\). Ответ: \(1\).

Итоги: а) \(\frac{1}{7}\); б) \(\frac{1}{5}\); в) \(1\); г) \(2\); д) \(\frac{1}{5}\); е) \(1\).