ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 2.411 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Найдите частное:
а) \(1 : 3\);
б) \(1 : \frac{1}{6}\);
в) \(1 : 0,2\);
г) \(1 : 0,7\);
д) \(1 : \frac{7}{12}\);
е) \(1 : 2 \frac{1}{7}\);
ж) \(1 : 1,2\);
з) \(1 : 1,5\).

Так как \(\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = 1\), то \(1 : \frac{b}{a} = \frac{a}{b}\).

То есть, в частном должно получиться число, обратное делителю:

а) \(1 : 3 = \frac{1}{3}\);

б) \(1 : \frac{1}{6} = 6\);

в) \(1 : 0{,}2 = 10 : 2 = 5 \quad (0{,}2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5})\);

г) \(1 : 0{,}7 = 10 : 7 = \frac{10}{7} = 1 \frac{3}{7} \quad (0{,}7 = \frac{7}{10})\);

д) \(1 : \frac{7}{12} = \frac{12}{7} = 1 \frac{5}{7}\);

е) \(1 : \frac{2}{15} = 1 : \frac{15}{7} = \frac{7}{15}\);

ж) \(1 : 1{,}2 = 1 : \frac{12}{10} = 1 : \frac{6}{5} = \frac{5}{6}\);

з) \(1 : 1{,}5 = 1 : \frac{15}{10} = 1 : \frac{3}{2} = \frac{2}{3}\).

Так как произведение двух дробей \(\frac{a}{b}\) и \(\frac{b}{a}\) равно единице, то есть \(\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = 1\), это означает, что дробь \(\frac{b}{a}\) является обратной к дроби \(\frac{a}{b}\). Следовательно, если мы делим число 1 на дробь \(\frac{b}{a}\), то результатом будет дробь \(\frac{a}{b}\), то есть \(1 : \frac{b}{a} = \frac{a}{b}\). Это правило используется для нахождения частного, когда делитель — дробь или число, которое можно представить в виде дроби.

Рассмотрим примеры подробнее. В первом случае а) \(1 : 3\), число 3 можно представить как дробь \(\frac{3}{1}\). Тогда по правилу деления на дробь \(1 : \frac{3}{1} = \frac{1}{3}\). Это значит, что частное равно обратной дроби к делителю. Во втором примере б) \(1 : \frac{1}{6}\), делитель — дробь \(\frac{1}{6}\). Деление на дробь — это умножение на её обратную, следовательно, \(1 : \frac{1}{6} = 1 \cdot \frac{6}{1} = 6\). Таким образом, частное равно числу 6.

В примере в) \(1 : 0{,}2\), десятичную дробь 0,2 нужно представить в виде обыкновенной дроби. Число 0,2 равно \(\frac{2}{10}\), что сокращается до \(\frac{1}{5}\). Тогда деление \(1 : 0{,}2\) переписывается как \(1 : \frac{1}{5}\), что равно \(1 \cdot \frac{5}{1} = 5\). Аналогично, в примере г) \(1 : 0{,}7\), десятичная дробь 0,7 равна \(\frac{7}{10}\). Тогда \(1 : 0{,}7 = 1 : \frac{7}{10} = 1 \cdot \frac{10}{7} = \frac{10}{7} = 1 \frac{3}{7}\). Это показывает, что при делении единицы на дробь результатом является обратная дробь, которую можно представить в виде смешанного числа.

В примере д) \(1 : \frac{7}{12}\), деление на дробь \(\frac{7}{12}\) равно умножению на обратную дробь \(\frac{12}{7}\), то есть \(1 : \frac{7}{12} = 1 \cdot \frac{12}{7} = \frac{12}{7} = 1 \frac{5}{7}\). В примере е) \(1 : \frac{2}{15}\), по тому же правилу, деление равно умножению на обратную дробь \(\frac{15}{2}\), но в условии приведена другая дробь \(\frac{15}{7}\), следовательно, \(1 : \frac{2}{15} = \frac{15}{2}\), а в условии пример записан с дробью \(\frac{7}{15}\) для результата, значит проверяем внимательно: если \(1 : \frac{2}{15} = \frac{15}{2}\), а в условии указано \(1 : \frac{15}{7} = \frac{7}{15}\), то здесь важно понимать, что деление на \(\frac{15}{7}\) даёт \(\frac{7}{15}\). В примере е) скорее показано \(1 : \frac{15}{7} = \frac{7}{15}\).

В случае ж) \(1 : 1{,}2\), десятичная дробь 1,2 можно представить как \(\frac{12}{10}\) или \(\frac{6}{5}\). Тогда \(1 : 1{,}2 = 1 : \frac{6}{5} = 1 \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{6}\). В примере з) \(1 : 1{,}5\), десятичная дробь 1,5 равна \(\frac{15}{10}\) или \(\frac{3}{2}\). Следовательно, \(1 : 1{,}5 = 1 : \frac{3}{2} = 1 \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}\).

Таким образом, во всех случаях деление единицы на число или дробь сводится к нахождению обратной дроби к делителю. Если делитель — десятичная дробь, её сначала нужно представить в виде обыкновенной дроби, а затем найти обратную. Если делитель — обыкновенная дробь, то результат деления равен умножению единицы на обратную дробь. Это универсальное правило облегчает вычисления и позволяет быстро находить частное при делении единицы на любое число или дробь.