ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 2.4 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Может ли произведение двух простых чисел быть простым числом?

Нет.

Пусть \(p\) и \(q\) — простые числа. Тогда у произведения \(n=pq\) есть делители: \(1\), \(p\), \(q\) и \(pq\).

Так как у простого числа ровно два делителя, а у \(n\) их как минимум четыре, \(pq\) не может быть простым. Исключений нет, даже при \(p=q\) имеем делители \(1,p,pq\) и число не простое.

Нет.

1) По определению простого числа оно имеет ровно два положительных делителя: \(1\) и само число. Пусть \(p\) и \(q\) — простые числа. Рассмотрим их произведение \(n=pq\). Делителями \(n\) являются как минимум \(1\), \(p\), \(q\) и \(pq\), поскольку \(n\) делится на \(p\) и \(q\) по построению, а также на \(1\) и на само себя. Следовательно, у \(n\) не два делителя, а как минимум четыре, то есть \(n\) не является простым числом.

2) Более того, если \(p\neq q\), то перечисленные четыре делителя попарно различны, и число делителей \(\ge 4\). Если же \(p=q\), то \(n=pq=p^{2}\). В этом случае набор делителей включает \(1\), \(p\) и \(p^{2}\); уже наличие третьего делителя нарушает критерий простоты. Таким образом, при любом выборе простых \(p\) и \(q\) произведение \(pq\) не может быть простым.

3) Этот факт согласуется с фундаментальной теоремой арифметики: каждое натуральное число \(n\ge 2\) имеет единственное разложение в произведение простых множителей с точностью до порядка. Если бы \(pq\) было простым, то его разложение содержало бы один простой множитель, однако фактически разложение \(pq\) уже содержит два простых множителя \(p\) и \(q\) (суммарная кратность равна \(1+1\) при \(p\neq q\) или \(2\) при \(p=q\)). Значит, \(pq\) относится к составным числам: при \(p\neq q\) это число имеет минимум четыре делителя, а при \(p=q\) число вида \(p^{2}\) имеет минимум три делителя. Поэтому произведение двух простых чисел не бывает простым ни при каких условиях.