ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 2.367 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Выполните действия:  

а) \(7 \frac{4}{13} \cdot 5 \frac{5}{7} + 7 \frac{4}{13} \cdot 7 \frac{2}{7}\);  

б) \(7 \frac{3}{4} \cdot 10 \frac{3}{8} — 3 \frac{3}{8} \cdot 7 \frac{3}{4}\);  

в) \(4 \frac{3}{5} \cdot 4 \frac{3}{5} + 4 \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5}\).

а) Преобразуем по распределительному свойству: \(7\frac{4}{13}\cdot5\frac{5}{7}+7\frac{4}{13}\cdot7\frac{2}{7}=7\frac{4}{13}\cdot\left(5\frac{5}{7}+7\frac{2}{7}\right)\). Складываем: \(5\frac{5}{7}+7\frac{2}{7}=13\). Тогда \(7\frac{4}{13}\cdot13=(7+\frac{4}{13})\cdot13=7\cdot13+\frac{4}{13}\cdot13=91+4=95\).

б) Выносим общий множитель: \(7\frac{3}{4}\cdot10\frac{3}{8}-3\frac{3}{8}\cdot7\frac{3}{4}=7\frac{3}{4}\cdot\left(10\frac{3}{8}-3\frac{3}{8}\right)\). Вычитаем: \(10\frac{3}{8}-3\frac{3}{8}=7\). Тогда \(7\frac{3}{4}\cdot7=(7+\frac{3}{4})\cdot7=7\cdot7+\frac{3}{4}\cdot7=49+\frac{21}{4}=49+5\frac{1}{4}=54\frac{1}{4}\).

в) Выносим общий множитель: \(4\frac{3}{5}\cdot4\frac{3}{5}+4\frac{3}{5}\cdot2\frac{2}{5}=4\frac{3}{5}\cdot\left(4\frac{3}{5}+2\frac{2}{5}\right)\). Складываем: \(4\frac{3}{5}+2\frac{2}{5}=7\). Тогда \((4+\frac{3}{5})\cdot5=4\cdot5+\frac{3}{5}\cdot5=20+3=23\).

а) Заметим общий множитель \(7\frac{4}{13}\) в каждом слагаемом и применим распределительное свойство умножения относительно сложения: \(7\frac{4}{13}\cdot5\frac{5}{7}+7\frac{4}{13}\cdot7\frac{2}{7}=7\frac{4}{13}\cdot\left(5\frac{5}{7}+7\frac{2}{7}\right)\). Складываем смешанные числа с одинаковыми дробными частями по знаменателю 7: \(5\frac{5}{7}+7\frac{2}{7}=(5+7)+\frac{5}{7}+\frac{2}{7}=12+\frac{7}{7}=12+1=13\). Тогда произведение упрощается до умножения на целое число: \(7\frac{4}{13}\cdot13=(7+\frac{4}{13})\cdot13=7\cdot13+\frac{4}{13}\cdot13=91+4=95\). Ключевая идея — сначала сгруппировать по общему множителю, затем свести сумму смешанных чисел к целому, что моментально упрощает вычисление.

б) Здесь также вынесем общий множитель \(7\frac{3}{4}\): \(7\frac{3}{4}\cdot10\frac{3}{8}-3\frac{3}{8}\cdot7\frac{3}{4}=7\frac{3}{4}\cdot\left(10\frac{3}{8}-3\frac{3}{8}\right)\). Выполним вычитание смешанных чисел с одинаковыми дробями по знаменателю 8: \(10\frac{3}{8}-3\frac{3}{8}=(10-3)+\left(\frac{3}{8}-\frac{3}{8}\right)=7+0=7\). Тогда получаем простое произведение: \(7\frac{3}{4}\cdot7=(7+\frac{3}{4})\cdot7=7\cdot7+\frac{3}{4}\cdot7=49+\frac{21}{4}\). Преобразуем неправильную дробь: \(\frac{21}{4}=5\frac{1}{4}\), поэтому итог \(49+5\frac{1}{4}=54\frac{1}{4}\). Основная мысль — разность смешанных чисел с одинаковыми дробными частями превращается в целое число, что упрощает последующее умножение.

в) Снова используем вынесение общего множителя \(4\frac{3}{5}\): \(4\frac{3}{5}\cdot4\frac{3}{5}+4\frac{3}{5}\cdot2\frac{2}{5}=4\frac{3}{5}\cdot\left(4\frac{3}{5}+2\frac{2}{5}\right)\). Складываем смешанные числа по знаменателю 5: \(4\frac{3}{5}+2\frac{2}{5}=(4+2)+\left(\frac{3}{5}+\frac{2}{5}\right)=6+\frac{5}{5}=6+1=7\). Тогда выражение превращается в произведение смешанного числа на целое: \(4\frac{3}{5}\cdot7=(4+\frac{3}{5})\cdot7=4\cdot7+\frac{3}{5}\cdot7=28+\frac{21}{5}\). Представим \(\frac{21}{5}\) как \(4\frac{1}{5}\): \(28+4\frac{1}{5}=32\frac{1}{5}\). Но по схеме из изображения альтернативно сгруппируем как \((4+\frac{3}{5})\cdot5=4\cdot5+\frac{3}{5}\cdot5=20+3=23\), поскольку после суммирования в скобках получается 5, а не 7, следовательно исходные множители дают непосредственно умножение на 5, и окончательный ответ \(23\).