ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 2.3 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

 Числа 2876, 4500, 777 777, 595 599 — составные. Докажите это утверждение.

Число 2876 чётное, значит делится на \(2\): \(2876=2\cdot1438\). Имеет делители \(1,2,2876\), следовательно составное.

Число 4500 оканчивается нулём, делится на \(10\) и на \(100\): \(4500=45\cdot100=2^{2}\cdot3^{2}\cdot5^{3}\). Делителей больше двух, число составное.

Число 777 777 делится на \(7\), так как \(777777=7\cdot111111\). Следовательно имеет делители \(1,7,777777\) и является составным.

Число 595 599 делится на \(3\), так как сумма цифр \(5+9+5+5+9+9=42\) кратна \(3\): \(595599=3\cdot198533\). Значит делителей больше двух, число составное.

Итак, все числа составные, что и требовалось доказать.

1) Рассмотрим 2876. Чётность числа гарантирует делимость на \(2\). Выполним явное разложение: \(2876=2\cdot1438\). Далее заметим, что \(1438\) тоже чётное: \(1438=2\cdot719\), значит \(2876=2^{2}\cdot719\). Число \(719\) не делится на \(2,3,5,7,11,13,17,19,23\) (проверка делением с остатком до \(\sqrt{719}\approx26{,}8\)), следовательно \(719\) простое. Уже наличие множителя \(2\) отличного от \(1\) и самого числа демонстрирует, что у 2876 имеются делители, отличные от тривиальных: например, \(2\) и \(1438\). Следовательно, число имеет более двух делителей и является составным.

2) Рассмотрим 4500. Окончание на ноль означает делимость на \(10\), а два нуля подряд — делимость на \(100\). Выполним стандартное разложение: \(4500=45\cdot100\). Разложим множители на простые: \(45=3^{2}\cdot5\), \(100=2^{2}\cdot5^{2}\). Тогда \(4500=2^{2}\cdot3^{2}\cdot5^{3}\). Наличие хотя бы одного нетривиального делителя, например \(10\) или \(100\), уже доказывает составность. Более того, из канонического разложения следует множество делителей, среди которых есть, к примеру, \(2,3,4,5,6,9,10,12,15,18,20,25,30,36,45,50,60,75,90,100\) и т. д., что однозначно подтверждает, что число не является простым.

3) Рассмотрим 777 777. Используем признак делимости на \(7\) через известное разложение чисел вида повторяющихся семёрок: \(777777=7\cdot111111\). Проверка корректности: \(7\cdot111111=777777\) выполняется точно. Число \(111111\) само разлагается дальше: \(111111=3\cdot7\cdot11\cdot13\cdot37\), поэтому \(777777=7\cdot(3\cdot7\cdot11\cdot13\cdot37)=3\cdot7^{2}\cdot11\cdot13\cdot37\). Уже факт делимости на \(7\) даёт нетривиальные делители \(7\) и \(111111\), следовательно у числа больше двух делителей и оно составное. Дополнительное разложение лишь усиливает аргумент, показывая множество различных простых множителей.

4) Рассмотрим 595 599. Применим признак делимости на \(3\): сумма цифр \(5+9+5+5+9+9=42\), а \(42\) делится на \(3\), значит \(595599\) делится на \(3\). Выполним разложение: \(595599=3\cdot198533\). Для полноты отметим, что \(198533\) не делится на \(2\) (нечётное), на \(3\) (сумма цифр \(1+9+8+5+3+3=29\), не кратна \(3\)), на \(5\) (не оканчивается на \(0\) или \(5\)), на \(7,11,13,17\) можно проверить делением с остатком; однако для установления составности исходного числа достаточно одного найденного нетривиального делителя \(3\). Следовательно, \(595599\) имеет делители \(1,3,595599\) и, как минимум, ещё \(198533\), то есть более двух делителей, а значит является составным.

5) Обобщая каждую из позиций: наличие нетривиального делителя \(d\) такого, что \(1<d<n\), эквивалентно существованию разложения \(n=d\cdot k\) с \(1<k<n\). Для 2876 найден \(d=2\) и \(k=1438\); для 4500 найдено каноническое разложение \(2^{2}\cdot3^{2}\cdot5^{3}\); для 777 777 найден \(d=7\) и \(k=111111\); для 595 599 найден \(d=3\) и \(k=198533\). В каждом случае выполнено условие существования делителя, отличного от \(1\) и самого числа, следовательно все четыре числа являются составными, что и требовалось доказать.