ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 2.240 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Используя переместительное и сочетательное свойства натуральных чисел, докажите переместительное и сочетательное свойства сложения для дробей с одинаковыми знаменателями.

Переместительное свойство сложения для дробей с одинаковыми знаменателями:

\(\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{b}{c} + \frac{a}{c}\)

\(\frac{a + b}{c} = \frac{b + a}{c}\).

Например:

\(\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{3}{7} + \frac{2}{7}\),

\(\frac{5}{7} = \frac{5}{7} \rightarrow\) верно.

Сочетательное свойство сложения для дробей с одинаковыми знаменателями:

\(\left(\frac{a}{c} + \frac{b}{c}\right) + \frac{d}{c} = \frac{a}{c} + \left(\frac{b}{c} + \frac{d}{c}\right)\)

\(\frac{a + b}{c} + \frac{d}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b + d}{c}\)

\(\frac{a + b + d}{c} = \frac{a + b + d}{c}\).

Например:

\(\left(\frac{3}{19} + \frac{5}{19}\right) + \frac{15}{19} = \frac{3}{19} + \left(\frac{5}{19} + \frac{15}{19}\right)\)

\(\frac{8}{19} + \frac{15}{19} = \frac{3}{19} + \frac{20}{19}\)

\(\frac{23}{19} = \frac{23}{19} \rightarrow\) верно.

Переместительное свойство сложения для дробей с одинаковыми знаменателями говорит о том, что при сложении дробей, у которых одинаковый знаменатель, порядок слагаемых не влияет на результат. Это свойство основано на общем свойстве сложения чисел, которое называется коммутативностью. Если у нас есть две дроби \(\frac{a}{c}\) и \(\frac{b}{c}\), то их сумма будет одинаковой, вне зависимости от того, в каком порядке мы их складываем: \(\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{b}{c} + \frac{a}{c}\). Это происходит потому, что при одинаковом знаменателе мы просто складываем числители, а знаменатель остаётся неизменным. Следовательно, \(\frac{a + b}{c} = \frac{b + a}{c}\), что подтверждает перестановку слагаемых.

Рассмотрим конкретный пример для наглядности. Если взять дроби \(\frac{2}{7}\) и \(\frac{3}{7}\), то их сумма равна \(\frac{2 + 3}{7} = \frac{5}{7}\). Если поменять порядок слагаемых, то получится \(\frac{3}{7} + \frac{2}{7} = \frac{3 + 2}{7} = \frac{5}{7}\). Результат не изменился, что подтверждает верность переместительного свойства. Таким образом, при сложении дробей с одинаковыми знаменателями можно менять местами слагаемые без изменения суммы.

Сочетательное свойство сложения для дробей с одинаковыми знаменателями объясняет, что при сложении трёх и более дробей порядок группировки слагаемых не влияет на результат. Если у нас есть три дроби \(\frac{a}{c}\), \(\frac{b}{c}\) и \(\frac{d}{c}\), то можно сначала сложить первые две, а затем прибавить третью: \(\left(\frac{a}{c} + \frac{b}{c}\right) + \frac{d}{c}\), либо сначала сложить вторую и третью, а потом прибавить первую: \(\frac{a}{c} + \left(\frac{b}{c} + \frac{d}{c}\right)\). В обоих случаях сумма будет одинаковой, так как \(\frac{a + b + d}{c} = \frac{a + b + d}{c}\).

Для примера возьмём дроби \(\frac{3}{19}\), \(\frac{5}{19}\) и \(\frac{15}{19}\). Сначала сложим первые две: \(\frac{3}{19} + \frac{5}{19} = \frac{8}{19}\), затем прибавим третью: \(\frac{8}{19} + \frac{15}{19} = \frac{23}{19}\). Если же сначала сложить вторую и третью: \(\frac{5}{19} + \frac{15}{19} = \frac{20}{19}\), а потом прибавить первую: \(\frac{3}{19} + \frac{20}{19} = \frac{23}{19}\), результат будет тем же. Это доказывает правильность сочетательного свойства для сложения дробей с одинаковыми знаменателями.