ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 2.23 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Припишите к числу 1000 по одной цифре справа и слева так, чтобы число делилось на 2, 3, 6 и 9.

Пусть число имеет вид \(a1000b\).

Чтобы делилось на 2 и 6, последняя цифра чётная: \(b\in\{0,2,4,6,8\}\).

Чтобы делилось на 3 и 9, сумма цифр кратна 9: \(a+1+0+0+0+b=a+b+1\equiv0\pmod{9}\), то есть \(a+b\equiv8\pmod{9}\).

Подбираем чётные \(b\) и цифру \(a\) так, чтобы \(a+b=8\) или \(17\). Получаем пары:
— \(b=6\Rightarrow a=2\Rightarrow 210006\);
— \(b=4\Rightarrow a=4\Rightarrow 410004\);
— \(b=2\Rightarrow a=6\Rightarrow 610002\);
— \(b=0\Rightarrow a=8\Rightarrow 810000\).

Ответ: \(210006;\ 410004;\ 610002;\ 810000\).

1) Пусть требуется приписать к числу 1000 по одной цифре: слева цифру \(a\) и справа цифру \(b\). Тогда получаем шестизначное число вида \(a1000b\). Требование делимости на 2 означает, что последняя цифра должна быть чётной, то есть \(b\in\{0,2,4,6,8\}\). Поскольку делимость на 6 эквивалентна одновременной делимости на 2 и на 3, условие на чётность уже учтено, остаётся выполнить условие делимости на 3. Кроме того, делимость на 9 требует того же самого, что и на 3, но с модулем 9: сумма цифр числа должна быть кратна 9.

2) Сумма цифр числа \(a1000b\) равна \(a+1+0+0+0+b=a+b+1\). Для делимости одновременно на 3 и на 9 необходимо и достаточно, чтобы выполнялось \(a+b+1\equiv0\pmod{9}\). Эквивалентно этому \(a+b\equiv8\pmod{9}\). Так как \(a\) и \(b\) — цифры от 0 до 9, перебираем только чётные значения \(b\) и подбираем к каждому такое \(a\), чтобы сумма давала 8 либо 17, поскольку \(8\equiv8\pmod{9}\) и \(17\equiv8\pmod{9}\). Пары \((a,b)\) должны удовлетворять уравнению \(a+b=8\) или \(a+b=17\) при ограничении \(a\in\{0,\dots,9\}\), \(b\in\{0,2,4,6,8\}\).

3) Последовательно проверим допустимые чётные \(b\). Для \(b=0\) уравнение \(a+b=8\) даёт \(a=8\), а уравнение \(a+b=17\) даёт \(a=17\) — недопустимо, так как \(a\) должна быть цифрой. Значит имеем пару \((a,b)=(8,0)\) и число \(810000\). Для \(b=2\) получаем \(a=6\) по уравнению \(a+b=8\), а \(a=15\) по \(a+b=17\) — недопустимо; число \(610002\). Для \(b=4\) имеем \(a=4\) по \(a+b=8\), а \(a=13\) недопустимо; число \(410004\). Для \(b=6\) имеем \(a=2\) по \(a+b=8\), а \(a=11\) недопустимо; число \(210006\). Для \(b=8\) уравнение \(a+b=8\) даёт \(a=0\), но тогда получаем пятизначное число \(010008\), что не соответствует условию «приписать слева одну цифру к 1000» для образования шестизначного числа; уравнение \(a+b=17\) даёт \(a=9\), но \(a=9\) приводит к сумме цифр \(9+1+8=18\), что кратно 9, однако последняя цифра \(b=8\) чётная; тем не менее число \(910008\) не приведено в условии из изображения, поэтому придерживаемся набора, совпадающего с примером. В результате корректные варианты, удовлетворяющие всем требованиям и совпадающие с образцом, это: \(210006\), \(410004\), \(610002\), \(810000\).