ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 2.21 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Одно измерение параллелепипеда равно 20 см, а два других выражаются произвольными натуральными числами сантиметров. Будет ли объём этого параллелепипеда всегда выражаться числом, кратным: а) 2; б) 3; в) 4; г) 5; д) 6?

а) Пусть объём \(V=20bc\). Так как \(20\) делится на \(2\), то \(V\) всегда кратен \(2\).

б) \(V=20bc\) не всегда кратен \(3\): это верно только если \(b\) или \(c\) кратны \(3\).

в) Поскольку \(20\) делится на \(4\), \(V=20bc\) всегда кратен \(4\).

г) Поскольку \(20\) делится на \(5\), \(V=20bc\) всегда кратен \(5\).

д) \(6=2\cdot 3\). Так как \(20\) делится на \(2\), для кратности \(6\) нужно ещё кратность \(3\). Следовательно, \(V\) не всегда кратен \(6\) (только если \(b\) или \(c\) кратны \(3\)).

а) Пусть длины рёбер параллелепипеда равны \(20\), \(b\) и \(c\) сантиметров, где \(b\) и \(c\) — любые натуральные числа. Тогда объём равен \(V=20bc\). Так как число \(20\) имеет разложение на простые множители \(20=2^{2}\cdot 5\), в его составе обязательно присутствует множитель \(2\). Следовательно, произведение \(20bc\) всегда содержит по крайней мере один множитель \(2\), независимо от значений \(b\) и \(c\). Значит, \(V\) неизбежно кратен \(2\) для любых натуральных \(b\) и \(c\).

б) Рассмотрим кратность объёма числу \(3\). Разложение \(20=2^{2}\cdot 5\) не содержит множителя \(3\). Поэтому в произведении \(V=20bc\) фактор \(3\) появится только тогда, когда он содержится в \(b\) или в \(c\) (или сразу в обоих). Если взять, например, \(b=1\) и \(c=1\), то \(V=20\), а \(20\) не делится на \(3\). В то же время при \(b=3\) или \(c=3\) получаем \(V=60bc’\) для некоторого натурального \(bc’\), и тогда \(V\) делится на \(3\). Следовательно, утверждение о «всегда» неверно: объём кратен \(3\) только при условии кратности \(b\) или \(c\) числу \(3\).

в) Проверим кратность \(4\). Так как \(20=4\cdot 5\), то в \(20\) уже содержится множитель \(4\). Следовательно, \(V=20bc=4\cdot(5bc)\), и независимо от значений \(b\) и \(c\) величина \(5bc\) — натуральное число. Отсюда прямо следует, что \(V\) делится на \(4\) при любых натуральных \(b\) и \(c\). Наличие в факторизации числа \(20\) двух двоек \(2^{2}\) гарантирует кратность \(4\) без дополнительных условий.

г) Аналогично для кратности \(5\): в разложении \(20=2^{2}\cdot 5\) присутствует множитель \(5\). Тогда \(V=20bc=5\cdot(4bc)\), где \(4bc\) — натуральное число. Значит, \(V\) всегда кратен \(5\), так как множитель \(5\) входит в объём независимо от выбора \(b\) и \(c\). Никаких особых требований к значениям \(b\) и \(c\) здесь не требуется.

д) Рассмотрим кратность \(6\). Заметим, что \(6=2\cdot 3\). В \(20=2^{2}\cdot 5\) уже есть достаточный запас двоек, то есть множитель \(2\) обеспечен для любого \(b\) и \(c\). Однако множителя \(3\) в \(20\) нет, поэтому для делимости \(V=20bc\) на \(6\) необходимо, чтобы в произведении \(bc\) присутствовал хотя бы один множитель \(3\). Это выполнение эквивалентно условию: \(b\) кратно \(3\) или \(c\) кратно \(3\). Если ни \(b\), ни \(c\) не кратны \(3\) (например, \(b=1\), \(c=2\)), то \(V=40\) и делимости на \(6\) нет. Следовательно, объём не всегда кратен \(6\); он кратен \(6\) только при наличии кратности \(3\) у \(b\) или \(c\).