ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 2.17 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Делится ли число n на число m нацело, если:

а) \(n=2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot5\cdot7\cdot7\) и \(m=2\cdot2\cdot7\);

б) \(n=2\cdot5\cdot5\cdot17\cdot17\) и \(m=2\cdot3\cdot5\);

в) \(n=3\cdot3\cdot5\cdot7\cdot19\) и \(m=3\cdot3\cdot7\cdot19\);

г) \(n=2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot7\cdot7=35\);

д) \(n=2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11\) и \(m=308\);

е) \(n=2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot5\cdot5\cdot11\) и \(m=1000\).

а) Разложение \(m=2\cdot2\cdot7\) полностью содержится в разложении \(n=2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot5\cdot7\cdot7\), значит \(n\) делится на \(m\).

б) В \(m=2\cdot3\cdot5\) есть множитель \(3\), которого нет в \(n=2\cdot5\cdot5\cdot17\cdot17\). Деления нет.

в) Разложение \(m=3\cdot3\cdot7\cdot19\) полностью содержится в \(n=3\cdot3\cdot5\cdot7\cdot19\). Делится.

г) \(m=35=5\cdot7\) содержится в \(n=2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot7\cdot7\). Делится.

д) \(m=308=2\cdot2\cdot7\cdot11\) содержится в \(n=2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11\). Делится.

е) \(m=1000=2\cdot2\cdot2\cdot5\cdot5\cdot5\) требует трёх пятёрок, а в \(n=2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot5\cdot5\cdot11\) их две. Деления нет.

а) Сравним простые множители. У \(n=2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot5\cdot7\cdot7=2^{2}\cdot3^{2}\cdot5^{1}\cdot7^{2}\). У \(m=2\cdot2\cdot7=2^{2}\cdot7^{1}\). Для делимости нужно, чтобы показатели степеней каждого простого числа в \(n\) были не меньше, чем в \(m\). Проверяем: для двойки \(2^{2}\) в \(n\) и \(2^{2}\) в \(m\) — достаточно; для семёрки \(7^{2}\) в \(n\) и \(7^{1}\) в \(m\) — достаточно; для тройки и пятёрки в \(m\) требований нет, так как их нет в \(m\). Следовательно, частное будет целым, \(n\) делится на \(m\).

б) Разложим оба числа на простые множители: \(n=2\cdot5\cdot5\cdot17\cdot17=2^{1}\cdot5^{2}\cdot17^{2}\), \(m=2\cdot3\cdot5=2^{1}\cdot3^{1}\cdot5^{1}\). Условие делимости нарушается из‑за простого множителя \(3\): в \(m\) показатель \(3^{1}\), а в \(n\) множителя \(3\) нет, то есть фактически показатель \(3^{0}\). Поскольку \(0<1\), требование не выполняется, значит при делении возникнет остаток. Итак, \(n\) на \(m\) не делится.

в) Выпишем степени: \(n=3\cdot3\cdot5\cdot7\cdot19=3^{2}\cdot5^{1}\cdot7^{1}\cdot19^{1}\), \(m=3\cdot3\cdot7\cdot19=3^{2}\cdot7^{1}\cdot19^{1}\). Сравним показатели по каждому простому из \(m\): для тройки \(2\le2\) — ок, для семёрки \(1\le1\) — ок, для \(19\) тоже \(1\le1\). Лишний множитель \(5\) в \(n\) не мешает делимости, он просто попадёт в целое частное. Следовательно, разложение \(m\) полностью содержится в разложении \(n\), делимость есть.

г) Перепишем числа: \(n=2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot7\cdot7=2^{1}\cdot3^{1}\cdot5^{1}\cdot7^{3}\). Число \(m=35=5\cdot7=5^{1}\cdot7^{1}\). Проверяем: для пятёрки в \(n\) есть \(5^{1}\), для семёрки \(7^{3}\) покрывает требуемое \(7^{1}\). Простые множители \(2\) и \(3\) в \(n\) избыточны и на делимость не влияют. Следовательно, деление нацело возможно, \(n\) делится на \(m\).

д) Найдём простые множители \(m\): \(308=2\cdot2\cdot7\cdot11=2^{2}\cdot7^{1}\cdot11^{1}\) (пошагово: \(308:2=154\), \(154:2=77\), \(77=7\cdot11\)). У \(n=2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11=2^{2}\cdot3^{2}\cdot5^{1}\cdot7^{1}\cdot11^{1}\). Сравнение показателей даёт: для \(2\) — \(2\le2\), для \(7\) — \(1\le1\), для \(11\) — \(1\le1\). Все требования соблюдены, остальные множители \(3^{2}\) и \(5^{1}\) избыточны. Следовательно, \(n\) делится на \(m\).

е) Разложим \(m\): \(1000=10^{3}=(2\cdot5)^{3}=2^{3}\cdot5^{3}\). Разложение \(n=2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot5\cdot5\cdot11=2^{3}\cdot3^{1}\cdot5^{2}\cdot11^{1}\). Сравним по простым из \(m\): для двойки \(2^{3}\) в \(n\) достаточно; для пятёрки требуется \(5^{3}\), а в \(n\) только \(5^{2}\). Поскольку \(2<3\), условие делимости нарушено именно по множителю \(5\). Следовательно, при делении на \(1000\) останется ненулевой остаток, \(n\) на \(m\) не делится.