ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 2.15 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Напишите все двузначные числа, разложение которых на простые множители состоит из двух или трёх одинаковых множителей. Как называют эти числа?

Числа, разложение которых состоит из одинаковых простых множителей, имеют вид \(p^2\) или \(p^3\).

Двузначные квадраты простых: \(2^2=4\) (не двузначное), \(3^2=9\) (не двузначное), \(5^2=25\), \(7^2=49\). Следовательно, двузначные: 25, 49.

Двузначные кубы простых: \(2^3=8\) (не двузначное), \(3^3=27\). Следовательно, двузначное: 27.

Ответ: 25, 27, 49. Эти числа называют соответственно квадратами (\(p^2\)) и кубами (\(p^3\)) чисел.

1) Рассматриваем числа, разложение которых на простые множители состоит из двух или трёх одинаковых множителей. Это означает, что число представимо в виде степени одного простого числа: либо \(p^2\) (произведение двух одинаковых простых множителей), либо \(p^3\) (произведение трёх одинаковых простых множителей), где \(p\) — простое число. Нас просят выписать только двузначные такие числа, то есть значения этих степеней, попадающие в диапазон от 10 до 99 включительно.

2) Переберём простые \(p\) по возрастанию и проверим квадраты \(p^2\). Для \(p=2\) получаем \(2^2=4\) — не двузначное; для \(p=3\) получаем \(3^2=9\) — не двузначное; для \(p=5\) получаем \(5^2=25\) — двузначное и подходит; для \(p=7\) получаем \(7^2=49\) — двузначное и подходит; для следующего простого \(p=11\) получаем \(11^2=121\) — трёхзначное, дальше квадраты будут только расти и двузначных уже не будет. Следовательно, все двузначные числа вида \(p^2\) это 25 и 49; по смыслу задачи их называют квадратами чисел, то есть степенями второй степени одного простого множителя.

3) Аналогично проверим кубы \(p^3\). Для \(p=2\) имеем \(2^3=8\) — не двузначное; для \(p=3\) имеем \(3^3=27\) — двузначное и подходит; для следующего простого \(p=5\) получаем \(5^3=125\) — трёхзначное, а при больших \(p\) значения кубов ещё больше. Поэтому единственное двузначное число вида \(p^3\) — это 27; такие числа называют кубами, то есть степенями третьей степени одного простого множителя.

Ответ: 25, 27, 49. Это двузначные числа, чьи разложения на простые множители состоят из одинаковых множителей: \(25=5^2\) и \(49=7^2\) — квадраты; \(27=3^3\) — куб.