ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 2.137 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Сократите дробь:
а) \(\frac{120}{224}\);
б) \(\frac{264}{1540}\);
в) \(\frac{4050}{486}\);
г) \(\frac{4455}{4725}\).

а) Для сокращения дроби \(\frac{120}{224}\) разложим числитель и знаменатель на множители:
\(120 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 15\),
\(224 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 28\).
Сократим на \(2 \cdot 2 \cdot 2\), получим \(\frac{15}{28}\).

б) Для дроби \(\frac{264}{1540}\) разложим:
\(264 = 2 \cdot 2 \cdot 6 \cdot 11\),
\(1540 = 2 \cdot 2 \cdot 11 \cdot 35\).
Сократим на \(2 \cdot 2 \cdot 11\), получим \(\frac{6}{35}\).

в) Для дроби \(\frac{4050}{486}\) разложим:
\(4050 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 25\),
\(486 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3\).
Сократим на \(2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3\), получим \(\frac{25}{3}\).

г) Для дроби \(\frac{4455}{4725}\) разложим:
\(4455 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 33\),
\(4725 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 35\).
Сократим на \(3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5\), получим \(\frac{33}{35}\).

а) Чтобы сократить дробь \(\frac{120}{224}\), сначала нужно разложить числитель и знаменатель на простые множители. Число 120 раскладывается как \(120 = 2^3 \cdot 15\), потому что \(120 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 15\). Аналогично, число 224 раскладывается как \(224 = 2^3 \cdot 28\), так как \(224 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 28\). Таким образом, в числителе и знаменателе есть общий множитель \(2^3\).

Далее, чтобы сократить дробь, нужно убрать одинаковые множители из числителя и знаменателя. Поскольку и в числителе, и в знаменателе есть множитель \(2^3\), мы сокращаем дробь на это число. После сокращения остаётся дробь \(\frac{15}{28}\), так как \(15\) и \(28\) не имеют общих простых делителей. Это и есть упрощённая форма исходной дроби.

Таким образом, сокращение дроби происходит за счёт нахождения общих простых множителей в числителе и знаменателе, их выделения и последующего сокращения. Этот метод позволяет значительно упростить дробь, сохранив её значение.

б) Для сокращения дроби \(\frac{264}{1540}\) также разложим числитель и знаменатель на простые множители. Число 264 раскладывается как \(264 = 2^2 \cdot 6 \cdot 11\), что равносильно \(2 \cdot 2 \cdot 6 \cdot 11\). Число 1540 раскладывается как \(1540 = 2^2 \cdot 11 \cdot 35\), то есть \(2 \cdot 2 \cdot 11 \cdot 35\). Здесь видно, что в числителе и знаменателе есть множители \(2^2\) и \(11\).

Чтобы сократить дробь, вычёркиваем одинаковые множители из числителя и знаменателя. Сокращаем на \(2^2 \cdot 11\), после чего остаётся дробь \(\frac{6}{35}\). Эти числа не имеют общих делителей, поэтому дробь нельзя упростить дальше.

Такой способ сокращения дробей через разложение на простые множители позволяет легко найти наибольший общий делитель и тем самым упростить дробь до минимального вида.

в) Рассмотрим дробь \(\frac{4050}{486}\). Разложим числитель и знаменатель на простые множители. Число 4050 раскладывается как \(4050 = 2 \cdot 3^4 \cdot 25\), то есть \(2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 25\). Число 486 раскладывается как \(486 = 2 \cdot 3^5\), то есть \(2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3\). Обратите внимание, что в числителе и знаменателе есть множитель \(2\) и по крайней мере четыре тройки \(3\).

Для сокращения дроби вычёркиваем общие множители \(2 \cdot 3^4\). После сокращения остаётся дробь \(\frac{25}{3}\), так как \(25\) и \(3\) не имеют общих простых множителей.

Этот пример показывает, что важно учитывать степень каждого простого множителя при сокращении, чтобы правильно определить общий множитель.

г) Для дроби \(\frac{4455}{4725}\) разложим числитель и знаменатель на простые множители. Число 4455 раскладывается как \(4455 = 3^3 \cdot 5 \cdot 33\), то есть \(3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 33\). Число 4725 раскладывается как \(4725 = 3^3 \cdot 5 \cdot 35\), то есть \(3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 35\). Видно, что в числителе и знаменателе есть множители \(3^3\) и \(5\).

Сократим дробь на \(3^3 \cdot 5\), после чего останется дробь \(\frac{33}{35}\). Эти числа не имеют общих делителей, поэтому дробь нельзя упростить дальше.

Такой метод разложения и сокращения помогает найти наибольший общий делитель и упростить дробь максимально.