ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 2.130 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

а) Каким должен быть знаменатель обыкновенной дроби, чтобы её можно было представить в виде десятичной?
б) Какие дроби можно представить в виде десятичной дроби: \(\frac{3}{7}\), \(\frac{12}{5}\), \(\frac{1}{3}\), \(\frac{7}{12}\), \(\frac{11}{15}\), \(\frac{6}{24}\)?

а) Знаменатель обыкновенной дроби должен содержать в разложении на простые множители только 2 и/или 5, чтобы дробь можно было представить в виде конечной десятичной дроби.

б) Рассмотрим дроби и разложим знаменатели на простые множители:

— \(\frac{3}{7}\): знаменатель 7 — простой множитель, не равен 2 или 5, значит нельзя представить в виде конечной десятичной дроби.
— \(\frac{12}{5}\): знаменатель 5 — подходит, дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби.
— \(\frac{1}{3}\): знаменатель 3 — не равен 2 или 5, нельзя.
— \(\frac{7}{12}\): знаменатель 12 = \(2^2 \times 3\), есть множитель 3 — нельзя.
— \(\frac{11}{15}\): знаменатель 15 = \(3 \times 5\), есть множитель 3 — нельзя.
— \(\frac{6}{24}\): знаменатель 24 = \(2^3 \times 3\), есть множитель 3 — нельзя.

Ответ: в виде конечной десятичной дроби можно представить только \(\frac{12}{5}\).

а) Чтобы обыкновенную несократимую дробь можно было представить в виде конечной десятичной дроби, её знаменатель в разложении на простые множители должен содержать только числа 2 и 5. Это объясняется тем, что десятичная система счисления основана на числе 10, а число 10 раскладывается на простые множители как \(2 \times 5\). Если знаменатель дроби содержит другие простые множители, например 3, 7, 11 и так далее, то при делении числителя на знаменатель получится бесконечная периодическая десятичная дробь. Таким образом, условие о том, что знаменатель не должен иметь простых множителей, отличных от 2 и 5, является необходимым и достаточным для представления дроби в виде конечной десятичной дроби.

б) Рассмотрим каждую дробь отдельно и проанализируем её знаменатель:

1. Дробь \(\frac{3}{7}\). Знаменатель равен 7, который является простым числом, не равным 2 или 5. Значит, дробь не может быть выражена конечной десятичной дробью, так как при делении на 7 получается бесконечная периодическая десятичная дробь.

2. Дробь \(\frac{12}{5}\). Знаменатель равен 5, что входит в допустимый набор простых множителей. Следовательно, дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби. Например, \(\frac{12}{5} = 2.4\).

3. Дробь \(\frac{1}{3}\). Знаменатель равен 3, простое число, не равное 2 или 5. Поэтому эта дробь не может быть представлена конечной десятичной дробью, а будет иметь бесконечное периодическое десятичное представление.

4. Дробь \(\frac{7}{12}\). Знаменатель равен 12, который раскладывается на простые множители как \(2^2 \times 3\). Поскольку в разложении есть множитель 3, дробь не может быть выражена конечной десятичной дробью.

5. Дробь \(\frac{11}{15}\). Знаменатель равен 15, который раскладывается как \(3 \times 5\). Наличие множителя 3 исключает возможность представления дроби в виде конечной десятичной дроби.

6. Дробь \(\frac{6}{24}\). Знаменатель равен 24, раскладывается как \(2^3 \times 3\). Опять же, присутствует множитель 3, значит дробь не может быть представлена конечной десятичной дробью.

Итог: из всех перечисленных дробей только \(\frac{12}{5}\) имеет знаменатель, состоящий исключительно из простых множителей 2 и 5, и потому может быть записана в виде конечной десятичной дроби. Все остальные дроби содержат в знаменателе простые множители, отличные от 2 и 5, что приводит к бесконечным периодическим десятичным дробям при их записи.