ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 2.120 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Найдите НОД \((n,d)\), если:
а) \(n=3\cdot5\cdot7\cdot7\cdot11,\ d=5\cdot5\cdot7\cdot11\);
б) \(n=756,\ d=720\).

\(a)\) \(n = 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 11\), \(d = 5 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11\).

НОД — произведение общих простых множителей с наименьшими степенями: \(5\), \(7\), \(11\).

Следовательно, \(\text{НОД}(n, d) = 5 \cdot 7 \cdot 11 = 35 \cdot 11 = 385\).

\(б)\) \(n = 756\), \(d = 720\).

Разложение на простые множители:

\(756 = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 7\),

\(720 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5\).

Общие множители с наименьшими степенями: \(2^2\), \(3^2\).

Значит, \(\text{НОД}(756, 720) = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36\).

1) Рассмотрим числа \(n = 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 11\) и \(d = 5 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11\). Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД), нужно определить все простые множители, которые встречаются в разложениях обоих чисел, и выбрать для каждого из них наименьшую степень. В данном случае общими простыми множителями являются 5, 7 и 11. В числе \(n\) множитель 5 встречается в степени 1, множитель 7 — в степени 2, множитель 11 — в степени 1. В числе \(d\) множитель 5 встречается в степени 2, множитель 7 — в степени 1, множитель 11 — в степени 1. Для НОД берем минимальные степени: для 5 — 1, для 7 — 1, для 11 — 1.

2) Таким образом, НОД равен произведению этих простых множителей с минимальными степенями: \(5^{1} \cdot 7^{1} \cdot 11^{1} = 5 \cdot 7 \cdot 11\). Вычисляем произведение: \(5 \cdot 7 = 35\), затем \(35 \cdot 11 = 385\). Следовательно, \(\text{НОД}(n, d) = 385\). Это число является наибольшим, которое делит оба числа без остатка.

3) Теперь рассмотрим числа \(n = 756\) и \(d = 720\). Для нахождения НОД сначала разложим каждое число на простые множители. Число 756 раскладывается как \(2^{2} \cdot 3^{3} \cdot 7\), а число 720 — как \(2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 5\). Чтобы найти НОД, нужно взять только те простые множители, которые есть в обоих числах, и использовать для них минимальные степени. Общими простыми множителями являются 2 и 3. Для 2 минимальная степень — 2, для 3 — 2.

4) Следовательно, НОД равен \(2^{2} \cdot 3^{2} = 4 \cdot 9 = 36\). Это означает, что 36 — наибольшее число, на которое делятся и 756, и 720 без остатка. Остальные множители (7 в числе 756 и 5 в числе 720) не входят в НОД, так как они не общие.

5) Для наглядности разложение чисел на простые множители можно представить в виде таблицы деления:

Это позволяет увидеть, как последовательно делятся числа на простые множители, что помогает определить НОД.