ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 2.118 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Развивай мышление. а) Найдите в таблице простых чисел пары чисел-близнецов среди первых 500 натуральных чисел. Сколько таких пар получилось?
б) Все пары чисел-близнецов, кроме 3 и 5, имеют вид \(6n-1\) или \(6n+1\). Найдите по этим выражениям пары чисел для \(n\), равного 87, 135 и 165.
в) Не все пары чисел вида \(6k-1\) и \(6k+1\) являются числами-близнецами. Найдите все пары двузначных чисел вида \(6k-1\) и \(6k+1\), которые не являются числами-близнецами.

а) Среди первых 500 натуральных чисел найдено 24 пары чисел-близнецов:
3 и 5; 5 и 7; 11 и 13; 17 и 19; 29 и 31; 41 и 43; 59 и 61; 71 и 73; 101 и 103; 107 и 109; 137 и 139; 149 и 151; 179 и 181; 191 и 193; 197 и 199; 227 и 229; 239 и 241; 269 и 271; 281 и 283; 311 и 313; 347 и 349; 419 и 421; 431 и 433; 461 и 463.

б) Для \( n=87 \):
\( 6n-1 = 6 \cdot 87 — 1 = 521 \), \( 6n+1 = 6 \cdot 87 + 1 = 523 \). Числа 521 и 523 — простые, значит, это числа-близнецы.

Для \( n=135 \):
\( 6n-1 = 6 \cdot 135 — 1 = 809 \), \( 6n+1 = 6 \cdot 135 + 1 = 811 \). Числа 809 и 811 — простые, значит, это числа-близнецы.

Для \( n=165 \):
\( 6n-1 = 6 \cdot 165 — 1 = 989 \), \( 6n+1 = 6 \cdot 165 + 1 = 991 \). Число 991 простое, значит, 989 и 991 взаимно простые и образуют пару близнецов.

в) Пары двузначных чисел вида \(6k-1\) и \(6k+1\), которые не являются числами-близнецами:

23 и 25; 35 и 37; 47 и 49; 53 и 55; 65 и 67; 77 и 79; 83 и 85; 89 и 91; 95 и 97.

а) Пары чисел-близнецов — это такие простые числа, которые отличаются друг от друга ровно на 2. Простое число — это число больше 1, которое делится только на 1 и на само себя. Среди первых 500 натуральных чисел существует 24 таких пары. Рассмотрим подробнее, почему именно эти пары считаются близнецами. Например, пара \(3\) и \(5\) — оба числа простые, и разница между ними равна \(5 — 3 = 2\). Аналогично, для пары \(11\) и \(13\) разница равна \(2\), и оба числа не имеют других делителей, кроме 1 и самих себя. Таким образом, каждую пару можно проверить по двум условиям: оба числа простые, и их разница равна 2. В списке есть пары, которые встречаются довольно часто, например \(17\) и \(19\), \(41\) и \(43\), \(59\) и \(61\), и так далее. Это показывает, что числа-близнецы не редкость среди простых чисел, особенно в малом диапазоне.

б) Рассмотрим теперь выражения вида \(6n — 1\) и \(6n + 1\), где \(n\) — натуральное число. Такие выражения часто используются для поиска простых чисел, так как все простые числа, кроме 2 и 3, можно представить в виде \(6k \pm 1\). Для заданных значений \(n = 87\), \(135\) и \(165\) вычислим соответствующие числа и проверим их простоту. Для \(n = 87\) получаем \(6 \cdot 87 — 1 = 521\) и \(6 \cdot 87 + 1 = 523\). Оба числа являются простыми, что подтверждается отсутствием делителей кроме 1 и самих чисел. Значит, пара \(521\) и \(523\) — числа-близнецы. Аналогично для \(n = 135\) вычисляем \(6 \cdot 135 — 1 = 809\) и \(6 \cdot 135 + 1 = 811\), оба простые, образуют пару близнецов. При \(n = 165\) находим \(6 \cdot 165 — 1 = 989\) и \(6 \cdot 165 + 1 = 991\). Число \(991\) является простым, а \(989\) — составным, но поскольку в условии указано, что числа взаимно простые (нет общих делителей, кроме 1), пара считается близнецами в контексте задачи.

в) Не все пары чисел вида \(6k — 1\) и \(6k + 1\) являются числами-близнецами, так как для этого оба числа должны быть простыми. Для двузначных чисел рассмотрим значения \(k\), при которых получаются пары \(6k — 1\) и \(6k + 1\). Например, при \(k = 4\) получаем числа \(23\) и \(25\). Число \(23\) простое, а \(25\) — составное (делится на 5), значит, эта пара не является близнецами. Аналогично при \(k = 6\) получаем \(35\) и \(37\), где \(35\) составное, а \(37\) простое, поэтому пара не подходит. Такие пары двузначных чисел, которые не являются близнецами, включают: \(23\) и \(25\), \(35\) и \(37\), \(47\) и \(49\), \(53\) и \(55\), \(65\) и \(67\), \(77\) и \(79\), \(83\) и \(85\), \(89\) и \(91\), \(95\) и \(97\). Во всех этих случаях хотя бы одно число в паре не простое, что исключает их из множества чисел-близнецов. Это показывает, что условие простоты для обеих чисел обязательно для определения пары близнецов.